ข้อสอบ PAT 1 - มีนาคม 2558

ข้อ 21

กำหนดให้ $A$ และ $B$ เป็นเมทริกซ์มิติ $3 \times 3$ โดยที่ $d e t (A) > 0, d e t (A a d j A) - 2 {(d e t A)}^{2} - 3 d e t A = 0$ และ $A B = I$ เมื่อ $I$ เป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์การคูณ มิติ $3 \times 3$ พิจารณาข้อความต่อไปนี้

(ก) $7 d e t B - d e t A^{t} < 0$

(ข) $d e t (2 A - 3 a d j B) = 2$

ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง

1
(ก) ถูก และ (ข) ถูก
2
(ก) ถูก แต่ (ข) ผิด
3
(ก) ผิด แต่ (ข) ถูก
4
(ก) ผิด และ (ข) ผิด

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$จากสูตร A^{- 1} = \frac{1}{detA} \cdot adjA จะได้ว่า adjA = detA \cdot A^{- 1} จากโจทย์ \det (A \cdot adjA) - 2 {(detA)}^{2} - 3 detA = 0 \to 1 พิจารณา \det (A adjA)$
$จะได้ \det (A \cdot adjA) = \det (A \cdot detA \cdot A^{- 1}); โดย A \cdot A^{- 1} = I = \det (detA \cdot A \cdot A^{- 1}); มอง \det A = ตัวเลข = \det (detA \cdot I); สูตร \det ({kM}_{ij}) = k^{n} {detM}_{ij} = {(detA)}^{3} \det I = {(detA)}^{3} (1) = {(detA)}^{3}; แทนใน 1$
$จะได้ (detA)^{2} - 2 {(detA)}^{2} - 3 \det A = 0 กำหนดให้ x = detA จะได้ x^{3} - 2 x^{2} - 3 x = 0 x (x^{2} - 2 x - 3) = 0 x (x - 3) (x + 1) = 0 x = 0, 3, - 1 detA = 0, 3, - 1 จากโจทย์ detA > 0 จะได้ detA = 3$

$จากโจทย์ AB = I take \det ทั้งสองข้าง จะได้ \det (AB) = \det (I) detA \cdot detB = 1 (3) detB = 1 detB = \frac{1}{3} พิจารณา (ก) จากโจทย์ 7 detB - {detA}^{t} < 0$

$หาค่า 7 d e t B - d e t A^{t} จะได้ 7 detB - \det (A^{t}) = 7 detB - detA; โดย \det (A^{t}) = detA = 7 (\frac{1}{3}) - 3 = - \frac{2}{3} ดังนั้น ข้อ (ก) ถูก พิจารณา (ข) จากโจทย์ \det (2 A - 3 adj B) = 2 หาค่า a d j B ก่อน$

$จากโจทย์ AB = I A = B^{- 1} I; จากสมบัติ BI = B ทำให้ B^{- 1} I = B^{- 1} ดังนั้น A = B^{- 1} จากสูตร B^{- 1} = \frac{1}{detB} \cdot adjB adjB = detB \cdot B^{- 1}; โดย \det B = \frac{1}{3}, B^{- 1} = A adjB = (\frac{1}{3}) A$

$แสดงว่า \det (2 A - 3 adj B) = \det [2 A - 3 (\frac{1}{3}) A] = \det (2 A - A) = detA = 3 ดังนั้น ข้อ (ข) ผิด$

ข้อถัดไป