ข้อสอบ PAT 1 - มีนาคม 2558

$$\begin{gathered} \mathrm{นิยาม} {\left(\sqrt{\mathrm{x}}\right)}^2={\mathrm{x}}^2 \\ \sqrt{\boxed{}}\to \boxed{}\ge 0 \\ \mathrm{จากโจทย์}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\mathrm{x}<\sqrt{6+\mathrm{x}-{\mathrm{x}}^2}+1<\mathrm{x}+3 \\ \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em} \mathrm{x}-1<\sqrt{6+\mathrm{x}-{\mathrm{x}}^2}<\mathrm{x}+2 \\ \mathrm{จะได้}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em} \mathrm{x}-1<\sqrt{6+\mathrm{x}-{\mathrm{x}}^2}\to \boxed{1} \mathrm{และ} \sqrt{6+\mathrm{x}-{\mathrm{x}}^2}<\mathrm{x}+2\to \boxed{2} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{กรณี} \boxed{1} \sqrt{6+\mathrm{x}-{\mathrm{x}}^2}>\mathrm{x}-1 \\ \mathrm{พิจารณาเงื่อนไขที่ทำให้อสมการเป็นจริง} \\ \mathrm{จะได้} 6-\mathrm{x}-{\mathrm{x}}^2\ge 0 \\ {\mathrm{x}}^2-\mathrm{x}-6\le 0 \\ \left(\mathrm{x}-3\right)\left(\mathrm{x}+2\right)\le 0 \end{gathered}$$​

$$\begin{gathered} \mathrm{จะได้เซตคำตอบคือ} \mathrm{x}=\left[-2,3\right] \\ \mathrm{เมื่อแทน} \mathrm{x}=\left[-2,3\right] \mathrm{ลงในพจน์} \left(\mathrm{x}-1\right) \\ \mathrm{ทำให้พจน์} \left(\mathrm{x}-1\right) \mathrm{มีทั้งบวก} , \mathrm{ลบ} \\ \mathrm{จึงแบ่งเป็น} 2 \mathrm{กรณีดังนี้} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \underline{\mathrm{กรณี} 1.1} \sqrt{6+\mathrm{x}-{\mathrm{x}}^2}\ge 0 \mathrm{และ} \mathrm{x}-1<0 \\ \mathrm{จะได้} \mathrm{x}=\left[-2,3\right] \mathrm{และ} \mathrm{x}<1 \\ \mathrm{x}=\left(-\infty ,1\right) \end{gathered}$$​

$$\begin{gathered} \mathrm{หาเซตคำตอบของอสมการ} \\ \mathrm{จาก} \sqrt{6+\mathrm{x}-{\mathrm{x}}^2}>\mathrm{x}-1 \\ \mathrm{ค่า}+>\mathrm{ค่า}- \\ \mathrm{x}=\mathrm{R} \\ \mathrm{ดังนั้น} \mathrm{เซตคำตอบกรณี} 1.1 \mathrm{คือ} \mathrm{R}\cap \left[-2,3\right]\cap \left(-\infty ,1\right) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{ดังนั้น} \mathrm{เซตคำตอบกรณี} 1.1 \mathrm{คือ} \left[-2,1\right]\underline{ \\ } \\ \underline{\mathrm{กรณี} 1.2} \sqrt{6+\mathrm{x}-{\mathrm{x}}^2}\ge 0 \mathrm{และ} \mathrm{x}-1\ge 0 \\ \mathrm{จะได้} \mathrm{x}=\left[-2,3\right] \mathrm{และ} \mathrm{x}\ge 1 \\ \mathrm{x}=\left[1,\infty \right] \\ \mathrm{หาเซตคำตอบของอสมการ} \\ \mathrm{จาก} \sqrt{6+\mathrm{x}-{\mathrm{x}}^2}>\mathrm{x}-1 \\ \mathrm{ค่า} +>\mathrm{ค่า}+ \hspace{0.17em}\hspace{0.17em} ; \mathrm{ยกกำลังสองทั้ง}2\mathrm{ข้าง} \\ {\left(\sqrt{6-\mathrm{x}-{\mathrm{x}}^2}\right)}^2>{\left(\mathrm{x}-1\right)}^2 \\ 6-\mathrm{x}-{\mathrm{x}}^2>{\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}+1 \\ 0>2{\mathrm{x}}^2-3\mathrm{x}-5 \\ \left(2\mathrm{x}-5\right)\left(\mathrm{x}+1\right)<0 \\ \mathrm{x}=(-1,\frac{5}{2}) \\ \mathrm{ดังนั้น} \mathrm{เซตคำตอบกรณี} 1.2 \mathrm{คือ} (-1,\frac{5}{2})\cap \left[-2,3\right]\cap \left[1,\infty \right] \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{เซตคำตอบกรณี} 1.2 \mathrm{คือ} [1,\frac{5}{2}) \\ \mathrm{จากกรณี} 1.1 \mathrm{และ} 1.2 \mathrm{นำคำตอบมา} \mathrm{Union} \mathrm{จะได้เซตคำตอบของ} \\ \mathrm{กรณีที่} \boxed{1} \mathrm{คือ} [-2,1)\cup [1,\frac{5}{2})=[-2,\frac{5}{2}) \end{gathered}$$
 

$$\begin{gathered} \mathrm{กรณี} \boxed{2} \sqrt{6-\mathrm{x}-{\mathrm{x}}^2}<\mathrm{x}+2 \\ - \mathrm{พิจารณาเงื่อนไขที่ทำให้อสมการเป็นจริง} \\ \mathrm{จะได้} 6-\mathrm{x}-{\mathrm{x}}^2\ge 0 \mathrm{และ} \mathrm{x}+2\ge 0 \\ {\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}-6\le 0 \mathrm{x}\ge -2 \\ \left(\mathrm{x}+3\right)\left(\mathrm{x}+2\right)\le 0 \mathrm{x}=[-2,\infty ) \\ \mathrm{x} \le -3,-2 \\ \mathrm{x}=\left[-2,3\right] \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{เมื่อแทน} \mathrm{x}=\left[-2,3\right] \mathrm{ลงในพจน์} \left(\mathrm{x}+2\right) \\ \mathrm{ทำให้พจน์} \left(\mathrm{x}+2\right) \mathrm{เป็นบวกเสมอ} \\ - \mathrm{หาเซตคำตอบของอสมการ} \\ \mathrm{จาก} \sqrt{6-\mathrm{x}-{\mathrm{x}}^2}<\mathrm{x}+2 \\ \mathrm{ค่า} +<\mathrm{ค่า} + \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}; \mathrm{ค่า} + \mathrm{ทั้ง} 2 \mathrm{ข้าง} \mathrm{ยกกำลังสองได้} \end{gathered}$$
$$\begin{gathered} {\left(\sqrt{6-\mathrm{x}-{\mathrm{x}}^2}\right)}^2<{\left(\mathrm{x}+2\right)}^2 \\ 6-\mathrm{x}-{\mathrm{x}}^2<{\mathrm{x}}^2+4\mathrm{x}+4 \\ 0<2{\mathrm{x}}^2+3\mathrm{x}-2 \\ \left(2\mathrm{x}-1\right)\left(\mathrm{x}+2\right)>0 \\ \mathrm{x}=\left(-\infty ,-2\right)\cup (\frac{1}{2},\infty ) \\ \mathrm{ดังนั้น} \mathrm{เซตคำตอบกรณี} 2 \mathrm{คือ} \left(-\infty ,-2\right)\cup (\frac{1}{2},\infty )\cap \left[-2,3\right]\cap [-2,\infty ) \end{gathered}$$
$$\begin{gathered} \mathrm{เซตคำตอบกรณี} 2 \mathrm{คือ} (\frac{1}{2},3] \\ \mathrm{ดังนั้น} \mathrm{จากกรณี} \boxed{1} \mathrm{และ} \boxed{2} \mathrm{เซตคำตอบของสมการ} \\ \mathrm{คือ} [-2,\frac{5}{2})\cap (\frac{1}{2},3] = =(\frac{1}{2},\frac{5}{2}) \\ \mathrm{ดังนั้น} (\frac{1}{2},\frac{5}{2})\subset \left(0,3\right) \end{gathered}$$