ข้อสอบ PAT 1 - มีนาคม 2558

ข้อ 31

ให้ $P (S)$ แทนเพาเวอร์เซตของเซต $S$ ถ้า $A, B, C, D$ และ $E$ เป็นเซตจำกัด โดยที่ $P (D) = \{\emptyset, \{1\}, D, E\}$

$D \cup E \subset A \cap B, B \cap C = \emptyset, \{2, 3, 4, 5\} \subset A \cup B$ แต่ $2 \notin B$ และ

เซต	$P (A)$	$P (B)$	$P (A \cap C)$	$P (C - A)$
จำนวนสมาชิก	$8$	$32$	$2$	$4$

แล้วจำนวนสมาชิกของเซต $A \cup B \cup C$ เท่ากับเท่าใด

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ n [P (A)] = 8 จะได้ 2^{n (A)} = 8 \to n (A) = 3 จากโจทย์ n [P (B)] = 32 จะได้ 2^{n (B)} = 32 \to n (B) = 5 จากโจทย์ n [P (A \cap C)] = 2 จะได้ 2^{n (A \cap C)} = 2 \to n (A \cap C) = 1$

$จากโจทย์ n [P (C - A)] = 4 จะได้ 2^{n (C - A)} = 4 \to n (C - A) = 2 จากโจทย์ B \cap C = \emptyset จะได้ n (B \cap C) = 0$

$จากโจทย์ P (D) = \{\emptyset, \{1\}, D, E\} จะได้ 2^{n (D)} = 4 \to n (D) = 2 แสดงว่า สมาชิกของเซต D มี 2 ตัว$

$พิจารณา P (D) = \{\emptyset, \{1\}, D, E\} จะได้ \emptyset เป็นสับเซตของทุกเซต D เป็นสับเซตของตัวมันเอง \{1\} เป็นสับเซตของ D ดังนั้น 1 \in D E เป็นสับเซตของ D สมมติให้ E = \{△\} ดังนั้น △ \in D แสดงว่า D = \{1, △\}$

$จากโจทย์ D \cup E \subset A \cap B โดย D \cup E = \{1, △\} \cup \{△\} = \{1, △\} จะได้ \{1, △\} \subset A \cap B$

$จากโจทย์ \{2, 3, 4, 5\} \subset A \cup B แต่ 2 \notin B แสดงว่า 2 \in A แต่ต้องอยู่ในพื้นที่สีฟ้าของเซต A จะได้ n (A) = 3 A = \{1, △, 2\} โดย 2 \in A จะได้ B = \{1, ∆, 3, 4, 5\}$

$ดังนั้น n (A \cup B \cup C) = พื้นที่แรงเงา + n (B) + n (C - A) = 1 ตัว + 5 ตัว + 2 ตัว = 8 ตัว$