ข้อสอบ PAT 1 - มีนาคม 2558

ข้อ 35

ให้ $R$ แทนเซตของจำนวนจริง ให้ $f : R \to R$ เป็นฟังก์ชันที่สอดคล้องกับสมการ $f (x + y) = f (x) + f (y) + 3 x^{2} y + 3 x y^{2}$ สำหรับทุกจำนวนจริง $x$ และ $y$ และ $\lim_{x \to 0} \frac{f (x)}{x} = 2$ ค่าของ $f' (1) + f'' (5)$ เท่ากับเท่าใด

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$นิยาม f' (x) = \lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h} จากโจทย์ f (x + y) = f (x) + f (y) + 3 x^{2} y + 3 {xy}^{2} จะได้ f' (x) = \lim_{h \to 0} \frac{[f (x) + f (h) 3 x^{2} h + 3 {xh}^{2}] - f (x)}{h} = \lim_{h \to 0} (\frac{f (h) + 3 x^{2} h + 3 {xh}^{2}}{h}) = \lim_{h \to 0} (\frac{f (h)}{h} + \frac{3 x^{2} h}{h} + \frac{3 {xh}^{2}}{h}) = \lim_{h \to 0} \frac{f (h)}{h} + \lim_{h \to 0} (3 x^{2}) + \lim_{h \to 0} (3 xh) \to 1$

$จากโจทย์ \lim_{h \to 0} \frac{f (x)}{x} = 2 จะได้ \lim_{h \to 0} \frac{f (x)}{x} = 2 เช่นกัน จาก 1 f' (x) = \lim_{h \to 0} \frac{f (h)}{h} + \lim_{h \to 0} (3 x^{2}) + \lim_{h \to 0} (3 xh) จะได้ = 2 + 3 x^{2} + 3 x (0) = 2 + 3 x^{2} f'' (x) = 6 x$

$ดังนั้น f' (1) + f'' (5) = [2 + 3 {(1)}^{2}] + [6 (5)] = 5 + 30 = 35$

ข้อถัดไป