ข้อสอบ PAT 1 - มีนาคม 2558

ข้อ 39

ให้ $S$ แทนเซตคำตอบของสมการ $x + 3 \sqrt{3 x - 2 - x^{2}} = 3 + 2 \sqrt{x - 1} - 2 \sqrt{2 - x}$ ถ้า $a$ และ $b$ เป็นค่าสูงสุด และค่าต่ำสุดของสมาชิกในเซต $S$ ตามลำดับ แล้วค่าของ $25 b + 58 a$ เท่ากับเท่าใด

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ x + 3 \sqrt{3 x - 2 - x^{2}} = 3 + 2 \sqrt{x - 1} - 2 \sqrt{2 - x} \to 1 พิจารณา 3 x - 2 - x^{2} = - [x^{2} - 3 x + 2] = - [(x - 2) (x - 1)] = (2 - x) (x - 1); แทนใน 1 จะได้ x + 3 \sqrt{(2 - x) (x - 1)} = 3 + 2 \sqrt{x - 1} - 2 \sqrt{2 - x} 2 \sqrt{2 - x} - 2 \sqrt{x - 1} + 3 \sqrt{(2 - x) (x - 1)} = 3 - x 2 \sqrt{2 - x} - 2 \sqrt{x - 1} + 3 \sqrt{(2 - x)} \cdot \sqrt{x - 1} = 3 - x \to 2$

$กำหนดให้ A = \sqrt{2 - x}, B = \sqrt{x - 1} พิจารณา 3 - x จัดให้อยู่ในรูป A, B 3 - x = m (2 - x) + n (x - 1) \to 3 = 2 m - mx + nx - n = (n - m) x + (2 m - n) เทียบสัมประสิทธิ์ จะได้ n - m = - 1 2 m - n = 3$

$แก้ 2 สมการ 2 ตัวแปร หาค่า m, n จะได้ m = 2, n = 1 แทนใน 3 จะได้ 3 - x = 2 (2 - x) + 1 (x - 1); แทน A, B = 2 A^{2} + B^{2}$

$แทน A, B ใน 2 จะได้ 2 A - 2 B + 3 AB = 3 - x 2 A - 2 B + 3 AB = 2 A^{2} + B^{2} [2 A^{2} - 3 AB + B^{2}] - 2 A + 2 B = 0 [(2 A - B) (A - B)] - 2 (A - B) = 0 มองพจน์ A - B เป็นตัวร่วม จะได้ (A - B) (2 A - B - 2) = 0 A - B = 0 หรือ 2 A - B - 2 = 0 A = B 2 A - B = 2$

$\sqrt{2 - x} = \sqrt{x - 1} 2 \sqrt{2 - x} - \sqrt{x - 1} = 2 \to 4 {(\sqrt{2 - x})}^{2} = {(\sqrt{x - 1})}^{2} {(2 \sqrt{2 - x})}^{2} = {(2 + \sqrt{x - 1})}^{2} 2 - x = x - 1 4 (2 - x) = 4 + 4 \sqrt{x - 1} + (x - 1) 3 = 2 x 8 - 4 x = 3 + x + 4 \sqrt{x - 1} x = \frac{3}{2} 5 - 5 x = 4 \sqrt{x - 1} - 5 (x - 1) = 4 \sqrt{x - 1} กำหนดให้ D = \sqrt{x - 1} จะได้ - 5 D = 4 D^{2} 4 D^{2} - 5 D = 0$
$4 D^{2} - 5 D = 0 D (5 D + 4) = 0 จะได้ D = 0 หรือ 5 D + 4 = 0 \sqrt{x - 1} = 0 D = - \frac{4}{5} x - 1 = 0 \sqrt{x - 1} = - \frac{4}{5} x = 1 เป็นไปไม่ได้ ตรวจสอบแทนค่า x = 1 ใน 4 พบว่าทำให้สมการเป็นจริง ดังนั้น เซตคำตอบของ S คือ {1, \frac{3}{2}}$

$จากโจทย์ a และ b เป็นค่าสูงสุด และค่าต่ำสุดของสมาชิก แสดงว่า a = \frac{3}{2}, b = 1 ดังนั้น ค่าของ 25 b + 58 a = 25 (1) + 58 (\frac{3}{2}) = 25 + 87 = 112$

ข้อถัดไป