ข้อสอบ PAT 1 - มีนาคม 2559

ข้อ 1

กำหนดให้ p , q และ r เป็นประพจน์ใดๆ พิจารณาข้อความต่อไปนี้

(ก) $(~ p \to q) \to (~ q \to p)$ เป็นสัจนิรันดร์

(ข) $(p \to q) \leftrightarrow (~ p \land q)$ ไม่เป็นสัจนิรันดร์

(ค) $(p \to q) \lor (~ r \to ~ q)$ สมมูลกับ $p \to r$

ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง

1
ข้อ (ก) และ ข้อ (ข) ถูก แต่ ข้อ (ค) ผิด
2
ข้อ (ก) และ ข้อ (ค) ถูก แต่ ข้อ (ข) ผิด
3
ข้อ (ข) และ ข้อ (ค) ถูก แต่ ข้อ (ก) ผิด
4
ข้อ (ก) ข้อ (ข) และ ข้อ (ค) ถูกทั้งสามข้อ
5
ข้อ (ก) ข้อ (ข) และ ข้อ (ค) ผิดทั้งสามข้อ

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$นิยาม สัจนิรันดร์ คือ ประพจน์ที่มีค่าความจริงทุกกรณี (ไม่มีกรณีที่เป็นเท็จแม้แต่กรณีเดียว)$

$พิจารณาข้อ (ก) จากโจทย์ (~ p \to q) \to (~ q \to p) เป็นสัจนิรันดร์ หรือไม่ สมมติให้ประพจน์ (~ p \to q) \to (~ q \to p) มีค่าความจริงเป็นเท็จ นั่นคือ T \to F \equiv F ทำให้ประพจน์ ~ p \to q \equiv T และประพจน์ ~ q \to p \equiv F จากประพจน์ ~ q \to p \equiv F ทำให้ ~ q \equiv T, p \equiv F$

$แสดงว่า q \equiv F, ~ p \equiv T นำไปแทนค่าประพจน์ ~ p \to q จะได้ ~ p \to q \equiv T \to F \equiv F ซึ่งขัดแย้งกับ ~ p \to q \equiv T ที่สมมติไว้ตอนแรก ดังนั้นจึงทำให้ประพจน์ทั้งหมด มีค่าความจริงเป็นเท็จไม่ได้ แสดงว่า (~ p \to q) \to (~ q \to p) เป็นสัจนิรันตร์ ดังนั้น ข้อ (ก) ถูก$

$พิจารณาข้อ (ข) จากโจทย์ (p \to q) \leftrightarrow (~ p \land q) ไม่เป็นสัจนิรันดร์ หรือไม่ - โดย ประพจน์ (p \to q) \leftrightarrow (~ p \land q) ไม่เป็นสัจนิรันดร์เมื่อมีกรณีที่เป็นเท็จ กำหนดให้ p \equiv F และ q \equiv F จะได้ (p \to q) \leftrightarrow (~ p \land q) \equiv (F \to F) \leftrightarrow (~ F \land F) \equiv T \leftrightarrow (T \land F) \equiv T \leftrightarrow F \equiv F แสดงว่า (p \to q) \leftrightarrow (~ p \land q) ไม่เป็นสัจนิรันดร์ ดังนั้น ข้อ (ข) ถูก$

$พิจารณาข้อ (ค) จากโจทย์ (p \to q) \lor (~ r \to ~ q) สมมูลกับ p \to r หรือไม่ พิจารณา (p \to q) \lor (~ r \to ~ q) \equiv (~ p \lor q) \lor (r \lor ~ q) \equiv (~ p \lor r) \lor (q \lor ~ q) \equiv (~ p \lor r) \lor T; โดย \lor T \equiv T \equiv T$

$แสดงว่า ประพจน์ (p \to q) \lor (~ r \to ~ q) เป็นจริงเสมอ แต่ประพจน์ p \to r สามารถเป็นเท็จได้ เมื่อ p \equiv T, r \equiv F ดังนั้น (p \to q) \lor (~ r \to ~ q) ไม่สมบูรณ์กับ p \to r ข้อ (ค) ผิด ดังนั้น ตอบข้อ 1) ข้อ (ก) และข้อ (ข) ถูก แต่ (ค) ผิด$