ข้อสอบ PAT 1 - มีนาคม 2559

ข้อ 16

ถ้าพาราโบลารูปหนึ่ง มีแกนสมมาตรทับกับแกน $y$ และผ่านจุดปลายของส่วนของเส้นตรง $2 x + 3 y - 6 = 0$ เมื่อ $x$ สอดคล้องกับสมการ $|\sqrt{x^{2}} - x| + |3 - x - |x - 3|| = 0$ แล้วความยาวของเลตัสเรกตัมของพาราโบลาเท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1
$\frac{9}{8}$
2
$\frac{9}{4}$
3
$\frac{9}{2}$
4
$9$
5
$18$

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$พิจารณาสมการ |\sqrt{x^{2}} - x| + |3 - x - |x - 3|| = 0 จะได้ ||x| - x| + |3 - x - |x - 3|| = 0 สมการจะเป็นจริงเมื่อ ||x| - x| = 0 และ |3 - x - |x - 3|| = 0 |x| - x = 0 3 - x - |x - 3| = 0 |x| = x |x - 3| = 3 - x |x - 3| = - (x - 3) จากนิยาม |a| = a เมื่อ a \geq 0 |a| = - a เมื่อ a \leq 0$
$จากเดิม |x| = x และ |x - 3| = - (x - 3) จะได้ x \geq 0 และ x - 3 \leq 0 x \leq 3 จะได้เซตคำตอบคือ x = [0, \infty] \cap (\infty, 3] = [0, 3]$

$จากโจทย์ พาราโบลาผ่านจุดปลายของ 2 x + 3 y - 6 = 0 และเส้นตรงนี้มี่ค่า x ที่สอดคล้องกับสมการนี้ |\sqrt{x^{2}} - x| + |3 - x - |x - 3|| = 0 x = [0, 3] จะได้ว่า จุดปลายคือ x = 0, x = 3 แทนค่า x ในสมการเส้นตรง 2 x + 3 y - 6 = 0 แทน x = 0; 2 (0) + 3 y - 6 = 0 y = 2 \to จุด (0, 2) แทน x = 3; 2 (3) + 3 y - 6 = 0 y = 0 \to จุด (3, 0)$

$พิจารณาพาราโบลา มีแกนสมมาตรทับกับแกน y, ผ่านจุด (0, 2) และ (3, 0) จะได้ จุดยอด คือ (0, 2) \to (h, k) = (0, 2) จากสูตร พาราโบลา {(x - h)}^{2} = 4 c (y - k) โดยแกนสมมาตรทับกับแกน y แทน (h, k) = (0, 2) จะได้ {(x - 0)}^{2} = 4 c (y - 2); แทนจุด (3, 0) {(3 - 0)}^{2} = 4 c (0 - 2) 9 = 4 c (- 2) 4 c = - \frac{9}{2}$

$ดังนั้น ความยาวลาตัสเรกตัมของพาราโบลา = |4 c| = |- \frac{9}{2}| = \frac{9}{2} ดังนั้น ตอบ 3) \frac{9}{2}$