ข้อสอบ PAT 1 - เมษายน 2557

ข้อ 19

กำหนดให้ $𝑓 (x) = a x^{2} + b x + c$ เป็นพนุนามกำลังสอง เมื่อ $a, b, c$ เป็นจำนวนจริง และ $a \neq 0$

โดยที่ $𝑓 (1) = 0$ และ $𝑓$ มีค่าสูงสุดที่ $x = \frac{1}{3}$ ให้ $𝐹 (0, t) = 𝐹 (1, t) + 1$ สำหรับจำนวนจริง $t > 1$ พิจารณาข้อความต่อไปนี้

(ก) $𝐹 (1, 2) = 𝐹 (2, 3) + 10$

(ข) อนุพันธ์ของ $\frac{𝑓 (x)}{x^{2}}$ เท่ากับ $\frac{- 3 x^{2} - 2 x - 2}{x^{3}}$

1
(ก) ถูก และ (ข) ถูก
2
(ก) ถูก แต่ (ข) ผิด
3
(ก) ผิด แต่ (ข) ถูก
4
(ก) ผิด และ (ข) ผิด

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ f (x) = {ax}^{2} + bx + c \to A โดย f (1) = 0 จะได้ a {(1)}^{2} + b (1) + c = 0 a + b + c = 0 \to 1$

$จากโจทย์ f มีค่าสูงสุดที่ x = \frac{1}{3} จะได้ f' (\frac{1}{3}) = 0 โดย f (x) = {ax}^{2} + bx + c f' (x) = 2 ax + b$

$จาก f' (\frac{1}{3}) = 0 2 a (\frac{1}{3}) + b = 0 \frac{2}{3} a + b = 0 \to 2$

$จากโจทย์ F (α, β) = \int_{α}^{β} f (x) d x โดยที่ F (0, t) = F (1, t) + 1; จะได้ \int_{0}^{t} f (x) d x = \int_{1}^{t} f (x) d x + 1 \int_{0}^{t} ({ax}^{2} + bx + c) d x = \int_{0}^{t} ({ax}^{2} + bx + c) d x + 1 {(\frac{a}{3} x^{3} + \frac{b}{2} x^{2} + cx)}_{0}^{t} = {(\frac{a}{3} x^{3} + \frac{b}{2} x^{2} + cx)}_{0}^{t} + 1$
$(\frac{a}{3} t^{3} + \frac{b}{2} t^{2} + ct) = (\frac{a}{3} t^{3} + \frac{b}{2} t^{2} + ct) - (\frac{a}{3} + \frac{b}{2} + c) + 1 \frac{a}{3} + \frac{b}{2} + c = 1 \to 3 จาก 1, 2, 3 แก้ 3 สมการ 3 ตัวแปร จะได้ a = - 3, b = 2, c = 1 แทน a, b, c ใน A จะได้ f (x) = - 3 x^{2} + 2 x + 1$

$พิจารณา (ก) จากโจทย์ F (1, 2) = F (2, 3) + 10 จะได้ \int_{1}^{2} f (x) d x = \int_{2}^{3} f (x) d x + 10$
$\int_{1}^{2} (- 3 x^{2} + 2 x + 1) d x = \int_{2}^{3} (- 3 x^{2} + 2 x + 1) d x + 10 {(- 3 \frac{x^{3}}{3} + 2 \frac{x^{2}}{2} + x)}_{1}^{2} = {(- 3 \frac{x^{3}}{3} + 2 \frac{x^{2}}{2} + x)}_{2}^{3} + 10 {(- x^{3} + x^{2} + x)}_{1}^{2} = {(- x^{3} + x^{2} + x)}_{2}^{3} + 10$
$[- {(2)}^{3} + 2^{2} + 2] - [- 1 + 1 + 1] = [- {(3)}^{3} + 3^{2} + 3] - [- {(2)}^{3} + 2^{2} + 2] + 10 (- 8 + 4 + 2) - 1 = (- 27 + 9 + 3) - (- 8 + 4 + 2) + 10 - 3 = - 15 + 2 + 10 - 3 = - 3 ดังนั้น ข้อ (ก) ถูก$

$พิจารณา (ข) จากโจทย์ อนุพันธ์ของ \frac{f (x)}{x^{2}} เท่ากับ (\frac{- 3 x^{2} - 2 x - 2}{x^{3}}) หาค่า \frac{f (x)}{x^{2}} จะได้ \frac{f (x)}{x^{2}} = \frac{- 3 x^{2} - 2 x - 2}{x^{3}} = - 3 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}} = - 3 + 2 x^{- 1} + x^{- 2}$

$แสดงว่า อนุพันธ์ของ \frac{f (x)}{x^{2}} = \frac{d}{dx} (\frac{- 3 x^{2} - 2 x - 2}{x^{3}}) = - 2 x^{- 2} - 2 x^{- 3} = \frac{- 2}{x^{2}} - \frac{2}{x^{3}} = \frac{- 2 x - 2}{x^{3}} \neq \frac{- 3 x^{2} - 2 x - 2}{x^{3}} ดังนั้น ข้อ (ข) ผิด$

ข้อถัดไป