ข้อสอบ PAT 1 - เมษายน 2557

ข้อ 2

กำหนดให้เอกภพสัมพัทธ์คือเซตของจำนวนจริงบวก พิจารณาข้อความต่อไปนี้

(ก) ประพจน์ $\forall x [| x^{2} - 5 x + 4 | < x^{2} + 6 x + 5]$ มีค่าความจริงเป็นจริง

(ข) ประพจน์ $\forall x [| x^{2} - 1 | \geq 2 x - 2]$ มีค่าความจริงเป็นเท็จ

1
(ก) ถูก และ (ข) ถูก
2
(ก) ถูก แต่ (ข) ผิด
3
(ก) ผิด แต่ (ข) ถูก
4
(ก) ผิด และ (ข) ผิด

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ เอกภพสัมพัทธ์คือเซตของจำนวนจริงบวก แสดงว่า x \geq 0 พิจารณา (ก) จากโจทย์ \forall x [| x^{2} - 5 x + 4 | < x^{2} + 6 x + 5] มีค่าความจริงเป็นจริง พิจารณา |x^{2} - 5 x + 4| < x^{2} + 6 x + 5$

$เมื่อ |□| < △ จะได้ - △ < □ < △ และ △ > 0 นั่นคือ - △ < □ และ □ < △ และ △ > 0 พิจารณา - △ < □ และ □ < △ แทนค่า - (x^{2} + 6 x + 5) < x^{2} - 5 x + 4 และ x^{2} - 5 x + 4 < x^{2} + 6 x + 5 2 x^{2} + x + 9 > 0 \cap - 11 x - 1 < 0 x = R 11 x + 1 > 0 x > - \frac{1}{11}$

$จะได้ x \in (- \frac{1}{11}, \infty) เนื่องจาก เอกภพสัมพัทธ์คือเซตของจำนวนจริงบวก (x \geq 0) แสดงว่า \forall x [|x^{2} - 5 x + 4| < x^{2} + 6 x + 5] มีค่าความจริงเป็นจริง ดังนั้น ข้อ (ก) ถูก$

$พิจารณา (ข) จากโจทย์ \forall x [|x^{2} - 1| \geq 2 x - 2] มีค่าความจริงเป็นเท็จ พิจารณา |x^{2} - 1| \geq 2 x - 2 เมื่อ |□| \geq △ จะได้ □ \geq △ หรือ □ \leq - △$
$แทนค่า x^{2} - 1 \geq 2 x - 2 หรือ x^{2} - 1 \leq - (2 x - 2) x^{2} - 2 x + 1 \geq 0 \cup x^{2} + 2 x - 3 \leq 0 {(x - 1)}^{2} \geq 0 (x + 3) (x - 1) \leq 0 △^{2} \geq 0 \to เป็นจริงเสมอ x \leq - 3, 1 x = R x = [- 3, 1] ดังนั้นเซตคำตอบของ (ข) คือ x = R \cup x = [- 3, 1] จะได้ว่า x = R$
$เนื่องจาก x ทุกค่าในเอกภพสัมพัทธ์ R^{+} อยู่ในช่วงที่ทำให้อสมการ (ข) เป็นจริง ทำให้ประพจน์ข้อ (ข) มีค่าความจริงเป็นจริง ดังนั้น ข้อ (ข) ผิด$