ข้อสอบ PAT 1 - เมษายน 2557

ข้อ 27

พิจารณาข้อความต่อไปนี้

(ก) ถ้า $A = [\begin{matrix} 0 & 0 & a \\ b & 0 & 0 \\ 0 & c & 0 \end{matrix}]$ เมื่อ $a, b, c$ เป็นจำนวนจริงบวกที่ $a b c = 1$ และ $I$ เป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์การคูณ มิติ $3 \times 3$ แล้ว $d e t (A^{2} + A + 1) = 0$

(ข) ให้ $A = [\begin{matrix} a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \end{matrix}]$ และ $B = [\begin{matrix} a_{1} + 2 b_{1} - 3 c_{1} & a_{2} + 2 b_{2} - 3 c_{2} & a_{3} + 2 b_{3} - 3 c_{3} \\ 2 b_{1} & 2 b_{2} & 2 b_{3} \\ 3 c_{1} & 3 c_{2} & 3 c_{3} \end{matrix}]$ เมื่อ $a_{1}, a_{2}, a_{3}, b_{1}, b_{2}, b_{3}, c_{1}, c_{2}, c_{3}$ เป็นจำนวนจริง ถ้า $d e t (A) = 3$ แล้ว $d e t (B) = - 18$

ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง

1
(ก) ถูก และ (ข) ถูก
2
(ก) ถูก แต่ (ข) ผิด
3
(ก) ผิด แต่ (ข) ถูก
4
(ก) ผิด และ (ข) ผิด

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$พิจารณา (ก) จากโจทย์ A = [\begin{matrix} 0 & 0 & a \\ b & 0 & 0 \\ 0 & c & 0 \end{matrix}]; โดย abc = 1 จะได้ A^{2} = [\begin{matrix} 0 & 0 & a \\ b & 0 & 0 \\ 0 & c & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} 0 & 0 & a \\ b & 0 & 0 \\ 0 & c & 0 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 0 & ac & 0 \\ 0 & 0 & ab \\ bc & 0 & 0 \end{matrix}]$
$จะได้ A^{2} + A + I = [\begin{matrix} 0 & ac & 0 \\ 0 & 0 & ab \\ bc & 0 & 0 \end{matrix}] + [\begin{matrix} 0 & 0 & a \\ b & 0 & 0 \\ 0 & c & 0 \end{matrix}] + [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ b & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 1 & ac & a \\ b & 1 & ab \\ bc & c & 1 \end{matrix}]$

$จะได้ \det (A^{2} + A + I) = (1 + a^{2} b^{2} c^{2} + abc) - (abc + abc + abc) = [1 + {(abc)}^{2} + abc] - (3 abc) = [1 + {(1)}^{2} + 1] - 3 (1) = 3 - 3 = 0 ดังนั้น ข้อ (ก) ถูก$

$พิจารณา (ข) จากโจทย์ A = [\begin{matrix} a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \end{matrix}] จะได้ว่า เมทริกซ์ B เกิดจากการกระทำกับเมทริกซ์ A ดังนี้$

$(1) นำ 2 คูณ R_{2} ของเมทริกซ์ A จะได้ 2 R_{2} = [\begin{matrix} a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ 2 b_{1} & 2 b_{2} & 2 b_{3} \\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \end{matrix}] \to 1 (2) จาก 1 นำ 3 คูณ R_{3} ของเมทริกซ์ A จะได้ 3 R_{3} = [\begin{matrix} a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ 2 b_{1} & 2 b_{2} & 2 b_{3} \\ 3 c_{1} & 3 c_{2} & 3 c_{3} \end{matrix}] \to 2$

$(3) จาก 2 นำ R_{1} + 2 R_{2} - 3 R_{3} ของเมทริกซ์ A จะได้ B = [\begin{matrix} a_{1} + 2 b_{1} - 3 c_{1} & a_{2} + 2 b_{2} - 3 c_{2} & a_{3} + 2 b_{3} - 3 c_{3} \\ 2 b_{1} & 2 b_{2} & 2 b_{3} \\ 3 c_{1} & 3 c_{2} & 3 c_{3} \end{matrix}] แสดงว่า B เกิดจากการกระทำกับ A ดังนี้ (1) 2 R_{2} (2) 3 R_{3} (3) R_{1} + 2 R_{2} - 3 R_{3}$

$จากสมบัติ \det จะได้ว่า - (1), (2) ทำให้ \det B เพิ่มเป็น 2 เท่า และ 3 เท่าตามลำดับ - แต่ (3) เกิดจากการบวกลบ ด้วยแถวหรือหลักใดๆ ด้วยแถวหรือหลักอื่นๆ ภายในเมทริกซ์ A ดังนั้น จะไม่มีผลต่อค่า \det$

$จะได้ \det B = (2) (3) \det A; โดย \det A = 3 = (2) (3) (3) = 18 ดังนั้น ข้อ (ข) ผิด$

ข้อถัดไป