ข้อสอบ PAT 1 - ตุลาคม 2559

ข้อ 11

ถ้า $\cos θ = \frac{3}{5}$ และ $π < θ < 2 π$ แล้ว $100 c o t \frac{θ}{2} \cos e c \frac{θ}{2} \sin \frac{5 θ}{2}$ ตรงกับข้อใดต่อไปนี้

1
$- 41$
2
$- 164$
3
$- 205$
4
$- 328$
5
$- 656$

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ cosθ = \frac{3}{5} > 0 และ π < θ < 2 π แสดงว่า θ \in (\frac{3 π}{2}, 2 π) \to Q_{4} (เนื่องจาก cosθ เป็น +) จะได้ \sin θ = - \frac{4}{5} (เนื่องจาก Q_{4} \to \sin θ เป็น -) จากโจทย์ 100 \cot \frac{θ}{2} cosec \frac{θ}{2} \sin \frac{5 θ}{2}$

$= 100 (\frac{\cos \frac{θ}{2}}{\sin \frac{θ}{2}}) (\frac{1}{\sin \frac{θ}{2}}) \sin \frac{5 θ}{2} = 100 (\frac{\cos \frac{θ}{2} \sin \frac{5 θ}{2}}{\sin^{2} (\frac{θ}{2})}); \sin^{2} A = \frac{1 - \cos 2 A}{2} = 50 (\frac{2 \sin \frac{5 θ}{2} \cos \frac{θ}{2}}{\frac{1 - cosθ}{2}}); 2 \sin AcosB = \sin (A + B) + \sin (A - B)$

$= 50 (\frac{\sin 3 θ + \sin 2 θ}{\frac{1 - cosθ}{2}}) = 100 \frac{(3 sinθ - 4 \sin^{3} θ) + 2 sinθcosθ}{1 - cosθ}; sinθ = - \frac{4}{5}, cosθ = \frac{3}{5} = 100 \frac{(3 (- \frac{4}{5}) - 4 {(- \frac{4}{5})}^{3}) + (2 (- \frac{4}{5}) (\frac{3}{5}))}{1 - \frac{3}{5}}$