ข้อสอบ PAT1 - ตุลาคม 2559 | ความถนัดทางคณิตศาสตร์

ข้อ 16

ให้ $A$ และ $B$ เป็นเมทริกซ์มิติ $3 \times 3$ กำหนดโดย $A = [\begin{matrix} a & a^{2} & 1 \\ b & b^{2} & 1 \\ c & c^{2} & 1 \end{matrix}]$ และ $B = [\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ b c & c a & a b \end{matrix}]$

เมื่อ $a, b$ และ $c$ เป็นจำนวนจริงบวกที่แตกต่างกัน ค่าของ $d e t B$ ตรงกับข้อใดต่อไปนี้

1
$d e t A$
2
$- d e t A$
3
$\sqrt{a b c} (d e t A)$
4
$a b c (d e t A)$
5
$a^{2} b^{2} c^{2} (d e t A)$

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ A = [\begin{matrix} a & a^{2} & 1 \\ b & b^{2} & 1 \\ c & c^{2} & 1 \end{matrix}] จะได้ \det A = |\begin{matrix} a & a^{2} & 1 \\ b & b^{2} & 1 \\ c & c^{2} & 1 \end{matrix}|$

$\det A = {ab}^{2} + a^{2} c + {bc}^{2} - (b^{2} c + {ac}^{2} + a^{2} b) ดังนั้น \det A = {ab}^{2} + a^{2} c - b c^{2} - b^{2} c - a c^{2} - a^{2} b \to 1 จากโจทย์ B = [\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ bc & ca & ab \end{matrix}] จะได้ \det B = |\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ bc & ca & ab \end{matrix}|$

$\det B = {ab}^{2} + {bc}^{2} + a^{2} c - (b^{2} c + {ac}^{2} + a^{2} b) ดังนั้น \det B = {ab}^{2} + b c^{2} + a^{2} c - b^{2} c - a c^{2} - a^{2} b \to 2 จาก 1, 2 จะได้ \det B = \det A$