ข้อสอบ PAT 1 - ตุลาคม 2559

ข้อ 32

ให้เวกเตอร์ $\overset{⇀}{v} = a \overset{⇀}{i} + b \overset{⇀}{j} + c \overset{⇀}{k}$ เมื่อ $a, b$ และ $c$ เป็นจำนวนจริง และให้เวกเตอร์ $\overset{⇀}{u} = \overset{⇀}{i} - \overset{⇀}{k}$ และ $\overset{⇀}{w} = 2 \overset{⇀}{i} + \overset{⇀}{j} + 2 \overset{⇀}{k}$ ถ้าเวกเตอร์ $\overset{⇀}{v}$ มีทิศทางเดียวกับเวกเตอร์ $\overset{⇀}{u} \times \overset{⇀}{w}$ และขนาดของเวกเตอร์ $\overset{⇀}{v}$ เท่ากับ $6 \sqrt{2}$ หน่วย แล้วค่าของ $a - b + c$ เท่ากับเท่าใด

เฉลยข้อสอบ

$สูตรเวกเตอร์ เวกเตอร์ขนาด 1 หน่วย ทิศทางเดียวกับเวกเตอร์ x = 1 \cdot \frac{x}{|x|} เวกเตอร์ขนาด a หน่วย ทิศทางเดียวกับเวกเตอร์ x = a \cdot \frac{x}{|x|} \to 1 u = ai + bj + ck จะได้ |u| = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}} \to 2$

$จากโจทย์ เวกเตอร์ \overset{⇀}{v} มีทิศทางเดียวกับเวกเตอร์ \overset{⇀}{u} \times \overset{⇀}{w} และขนาดของเวกเตอร์ \overset{⇀}{v} เท่ากับ 6 \sqrt{2} แสดงว่า เวกเตอร์ \overset{⇀}{v} ขนาด 6 \sqrt{2} หน่วย ทิศทางเดียว \overset{⇀}{u} \times \overset{⇀}{w}$

$จาก 1 จะได้ v = 6 \sqrt{2} \cdot \frac{u \times w}{|u \times w|} \to 3 หาค่า u \times w และ |u \times w| จากโจทย์ เวกเตอร์ \overset{⇀}{u} = \overset{⇀}{i} - \overset{⇀}{k} และ \overset{⇀}{w} = 2 \overset{⇀}{i} + \overset{⇀}{j} + 2 \overset{⇀}{k} จะได้ \overset{⇀}{u} \times \overset{⇀}{w} = |\begin{matrix} \overset{⇀}{i} & \overset{⇀}{j} & \overset{⇀}{k} \\ 1 & 0 & - 1 \\ 2 & 1 & 2 \end{matrix}| = \begin{matrix} \overset{⇀}{i} & \overset{⇀}{j} & \overset{⇀}{k} \\ 1 & 0 & - 1 \\ 2 & 1 & 2 \end{matrix} \begin{matrix} \overset{⇀}{i} & \overset{⇀}{j} \\ 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{matrix} = (0 \overset{⇀}{i} - 2 \overset{⇀}{j} + \overset{⇀}{k}) - (- \overset{⇀}{i} + 2 \overset{⇀}{j} + 0 \overset{⇀}{k}) = \overset{⇀}{i} - 4 \overset{⇀}{j} + \overset{⇀}{k}; แทนใน 3$

$และ |\overset{⇀}{u} \times \overset{⇀}{w}| = |\overset{⇀}{i} - 4 \overset{⇀}{j} + \overset{⇀}{k}| = \sqrt{1^{2} + {(- 4)}^{2} + 1^{2}} = \sqrt{18} = 3 \sqrt{2}; แทนใน 3 จาก 3 จะได้ \overset{⇀}{v} = 6 \sqrt{2} (\frac{\overset{⇀}{u} \times \overset{⇀}{w}}{|\overset{⇀}{u} \times \overset{⇀}{w}|})$

$\overset{⇀}{v} = 6 \sqrt{2} (\frac{\overset{⇀}{i} - 4 \overset{⇀}{j} + \overset{⇀}{k}}{3 \sqrt{2}}) \overset{⇀}{v} = 2 (\overset{⇀}{i} - 4 \overset{⇀}{j} + \overset{⇀}{k}) \overset{⇀}{v} = 2 \overset{⇀}{i} - 8 \overset{⇀}{j} + 2 \overset{⇀}{k}$

$จากโจทย์ \overset{⇀}{v} = a \overset{⇀}{i} + b \overset{⇀}{j} + c \overset{⇀}{k} เทียบ ส . ป . ส . กับ \overset{⇀}{v} = 2 \overset{⇀}{i} - 8 \overset{⇀}{j} + 2 \overset{⇀}{k} แสดงว่า a = 2, b = - 8, c = 2 ดังนั้น a - b + c = 2 - (- 8) + 2 = 12$