ข้อสอบ PAT 1 - ตุลาคม 2559

ข้อ 35

กำหนดให้ $𝑓 (x) = |x - 1| + |x + 2|$ เมื่อ $- 3 \leq x \leq 3$ ค่าของ $\int_{- 3}^{3} 𝑓 (x) d x$ เท่ากับเท่าใด

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์แบ่งได้ 4 เงื่อนไข ดังนี้ จากนิยาม |x - 1| = \{\begin{cases} x - 1; x - 1 \geq 0 \to x \geq 1 \to 1 \\ - (x - 1); x - 1 < 0 \to x < 1 \to 2 \end{cases} |x + 2| = \{\begin{cases} x + 2; x + 2 \geq 0 \to x \geq - 2 \to 3 \\ - (x + 2); x + 2 < 0 \to x < - 2 \to 4 \end{cases} ช่วงอินทิกรัลจำกัดเขต ตั้งแต่ - 3 ถึง 3 แบ่งได้ 3 ช่วง$

$จากโจทย์ \int_{- 3}^{3} f (x) d x = \int_{- 3}^{- 2} f (x) d x + \int_{- 2}^{1} f (x) d x + \int_{1}^{3} f (x) d x = \underset{2 + 4}{\underset{⏟}{\int_{- 3}^{- 2} |x - 1| + |x + 2| d x}} + \underset{2, 3}{\underset{⏟}{\int_{- 2}^{1} |x - 1| + |x + 2| d x}} + \underset{1, 3}{\underset{⏟}{\int_{1}^{3} |x - 1| + |x + 2| d x}}$

$= \int_{- 3}^{- 2} [- (x - 1) - (x + 2)] dx + \int_{- 2}^{1} [- (x - 1) + (x + 2)] dx + \int_{1}^{3} [(x - 1) + (x + 2)] dx = \int_{- 3}^{- 2} (- 2 x - 1) d x + \int_{- 2}^{1} (3) d x + \int_{1}^{3} (2 x + 1) d x$

$= {(- 2 \frac{x^{2}}{2} - x)}_{- 3}^{- 2} + {(3 x)}_{- 2}^{1} + {(\frac{2 x^{2}}{2} + x)}_{1}^{3} = {(- x^{2} - x)}_{- 3}^{- 2} + {(3 x)}_{- 2}^{1} + {(x^{2} + x)}_{1}^{3} = ((- 4 + 2) - (- 9 + 3)) + (3 - (- 6)) + ((9 + 3) - (1 + 1)) = (- 2 + 6) + 9 + (12 - 2) = 23 ดังนั้น ค่าของ \int_{- 3}^{3} f (x) d x = 23$