ข้อสอบ PAT 1 - ตุลาคม 2559

ข้อ 43

กำหนดให้ $f$ เป็นฟังก์ชัน ซึ่งมีโดเมนและเรนจ์เป็นสับเซตของจำนวนจริง โดยที่ $f' (x) = a x^{2} + b x$ เมื่อ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนจริง และสอดคล้องกับ $f'' (1) = 3 f' (1)$ และ $\int_{1}^{2} f (x) d x = 18$ ถ้าเส้นตรง $6 x - y + 4 = 0$ ขนานกับเส้นสัมผัสเส้นโค้ง $y = f (x)$ ที่ $x = 1$ แล้วค่าของ $f (2)$ เท่ากับเท่าใด

เฉลยข้อสอบ

$สูตรความชันเส้นตรง Ax + By + C = 0 จะได้ m_{L} = - \frac{A}{B} จากโจทย์ f' (x) = {ax}^{2} + bx \to 1 จะได้ f'' (x) = 2 ax + b \to 2$

$จากโจทย์ 6 x - y + 4 = 0 ขนานกับเส้นสัมผัสเส้นโค้ง y = f (x) ที่ x = 1 จะได้ m_{L} = f' (x); เส้นตรง 6 x - y + 4 = 0 \to m_{L} = - \frac{A}{B} - \frac{6}{- 1} = f' (1) f' (1) = 6$

$จากโจทย์ f'' (1) = 3 f' (1); แทน f' (1) = 6 จะได้ f'' (1) = 3 (6) f'' (1) = 18 จาก 1 f' (x) = {ax}^{2} + bx แทน x = 1 f' (1) = a {(1)}^{2} + b (1); f' (1) = 6 6 = a + b ดังนั้น a + b = 6 \to 3$

$จาก 2 f'' (x) = 2 ax + b แทน x = 1 f'' (1) = 2 a (1) + b; f'' (1) = 18 18 = 2 a + b 2 a + b = 18 \to 4 - จาก 3, 4 แก้ 2 สมการ 2 ตัวแปร จะได้ a = 12, b = - 6$

$จาก 1 f' (x) = {ax}^{2} + bx; a = 12, b = - 6 จะได้ f' (x) = 12 x^{2} - 6 x; \int dx ทั้ง 2 ข้าง$

$\int f' (x) dx = \int (12 x^{2} - 6 x) dx f (x) = \frac{12 x^{3}}{3} - \frac{6 x^{2}}{2} + c ดังนั้น f (x) = 4 x^{3} - 3 x^{2} + c \to 5 จากโจทย์ \int_{1}^{2} f (x) d x = 18; แทน f (x) จะได้ \int_{1}^{2} (4 x^{3} - 3 x^{2} + c) d x = 18 {4 \frac{x^{4}}{4} - 3 \frac{x^{3}}{3} + cx}_{1}^{2} = 18$

${x^{4} - x^{3} + cx}_{1}^{2} = 18 [2^{4} - 2^{3} + c (2)] - [1^{4} - 1^{3} + c (1)] = 18 (16 - 8 + 2 c) - (1 - 1 + c) = 18 ดังนั้น c = 10; แทนใน 5 จะได้ f (x) = 4 x^{3} - 3 x^{2} + 10 ค่าของ f (2) = 4 {(2)}^{3} - 3 {(2)}^{2} + 10 f (2) = 30$