ข้อสอบ PAT 1 - มีนาคม 2560

ข้อ 40

กำหนดให้ $a_{1}, a_{2}, a_{3}, . . ., a_{n}, . . .$ เป็นลำดับเลขคณิตของจำนวนเต็มบวก โดยที่ $a_{1} = 1$ และ $a_{8} = 36$ ถ้า $\frac{1}{\sqrt{a_{1}} + \sqrt{a_{2}}} + \frac{1}{\sqrt{a_{2}} + \sqrt{a_{3}}} + \frac{1}{\sqrt{a_{3}} + \sqrt{a_{4}}} + . . . + \frac{1}{\sqrt{a_{n - 1}} + \sqrt{a_{n}}} = 3$ แล้ว $n$ เท่ากับเท่าใด

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$สูตร (x - y) (x + y) = x^{2} - y^{2}$

$จากโจทย์ \frac{1}{\sqrt{a_{1}} + \sqrt{a_{2}}} + \frac{1}{\sqrt{a_{2}} + \sqrt{a_{3}}} + \frac{1}{\sqrt{a_{3}} + \sqrt{a_{4}}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{a_{n - 1}} + \sqrt{a_{n}}} = 3 \to 1$

$หาค่า \frac{1}{\sqrt{a_{1}} + \sqrt{a_{2}}} \frac{1}{\sqrt{a_{1}} + \sqrt{a_{2}}} \times \frac{(\sqrt{a_{1}} - \sqrt{a_{2}})}{(\sqrt{a_{1}} - \sqrt{a_{2}})} = \frac{\sqrt{a_{1}} - \sqrt{a_{2}}}{a_{1} - a_{2}}; แทนใน 1 หาค่า \frac{1}{\sqrt{a_{2}} + \sqrt{a_{3}}} \frac{1}{\sqrt{a_{2}} + \sqrt{a_{3}}} \times \frac{(\sqrt{a_{2}} - \sqrt{a_{3}})}{(\sqrt{a_{2}} - \sqrt{a_{3}})} = \frac{\sqrt{a_{2}} - \sqrt{a_{3}}}{a_{2} - a_{3}}; แทนใน 1$

$หาค่า \frac{1}{\sqrt{a_{3}} + \sqrt{a_{4}}} \frac{1}{\sqrt{a_{3}} + \sqrt{a_{4}}} \times \frac{(\sqrt{a_{3}} - \sqrt{a_{4}})}{(\sqrt{a_{3}} - \sqrt{a_{4}})} = \frac{\sqrt{a_{3}} - \sqrt{a_{4}}}{a_{3} - a_{4}}; แทนใน 1 หาค่า \frac{1}{\sqrt{a_{n - 1}} + \sqrt{a_{n}}} \frac{1}{\sqrt{a_{n - 1}} + \sqrt{a_{n}}} \times \frac{(\sqrt{a_{n - 1}} - \sqrt{a_{n}})}{(\sqrt{a_{n - 1}} - \sqrt{a_{n}})} = \frac{\sqrt{a_{n - 1}} - \sqrt{a_{n}}}{a_{n - 1} - a_{n}}; แทนใน 1$

$จาก 1 จะได้ \frac{\sqrt{a_{1}} - \sqrt{a_{2}}}{a_{1} - a_{2}} + \frac{\sqrt{a_{2}} - \sqrt{a_{3}}}{a_{2} - a_{3}} + \frac{\sqrt{a_{3}} - \sqrt{a_{4}}}{a_{3} - a_{4}} + \dots + \frac{\sqrt{a_{n - 1}} - \sqrt{a_{n}}}{a_{n - 1} - a_{n}} = 3 \to 2$

$จากโจทย์ a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots, a_{n}, \dots เป็นลำดับเลขคณิต แสดงว่า a_{n + 1} - a_{n} = d หรือ a_{n} - a_{n + 1} = - d จะได้ a_{1} - a_{2} = a_{2} - a_{3} = a_{3} - a_{4} = \dots = a_{n - 1} - a_{n} = - d$

$จาก 2 จะได้ \frac{\sqrt{a_{1}} - \sqrt{a_{2}}}{- d} + \frac{\sqrt{a_{2}} - \sqrt{a_{3}}}{- d} + \frac{\sqrt{a_{3}} - \sqrt{a_{4}}}{- d} + \dots + \frac{\sqrt{a_{n - 1}} - \sqrt{a_{n}}}{- d} = 3 \frac{\sqrt{a_{1}} - \sqrt{a_{2}} + \sqrt{a_{2}} - \sqrt{a_{3}} + \sqrt{a_{3}} - \sqrt{a_{4}} + \dots + \sqrt{a_{n - 1}} - \sqrt{a_{n}}}{- d} = 3$
$\frac{\sqrt{a_{1}} - \sqrt{a_{n}}}{- d} = 3 \sqrt{a_{1}} - \sqrt{a_{n}} = - 3 d \to 3$

$จากโจทย์ a_{1} = 1 และ a_{8} = 36 สูตร a_{n} = a_{1} + (n - 1) d จะได้ a_{8} = a_{1} + (8 - 1) d a_{8} = a_{1} + 7 d; แทนค่า a_{1}, a_{8} 36 = 1 + 7 d d = 5$

$จาก 3 \sqrt{a_{1}} - \sqrt{a_{n}} = - 3 d; แทนค่า a_{1}, d \sqrt{1} - \sqrt{a_{n}} = - 3 (5) 1 - \sqrt{a_{n}} = - 15 \sqrt{a_{n}} = 16 a_{n} = {(16)}^{2} = 256$

$สูตร a_{n} = a_{1} + (n - 1) d จะได้ 256 = 1 + (n - 1) (5) 255 = (n - 1) (5) n - 1 = 51 ดังนั้น n = 52$

ข้อถัดไป