ข้อสอบ PAT 1 - มีนาคม 2560

ข้อ 7

กำหนดให้ $0 < θ < 90 °$ ถ้า $m = \frac{1}{4} (1 + \sin θ) c o t θ$ และ $n = \frac{1}{4} (1 - \sin θ) c o t θ$ พิจารณาข้อความต่อไปนี้

(ก) ${(m^{2} - n^{2})}^{2} = m n$

(ข) $\sin θ = \frac{m - n}{m + n}$

(ค) $m^{2} + n^{2} = \frac{1}{8} c o t^{2} θ \cos^{2} θ$

ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง

1
ข้อ (ก) และ ข้อ (ข) ถูก แต่ ข้อ (ค) ผิด
2
ข้อ (ก) และ ข้อ (ค) ถูก แต่ ข้อ (ข) ผิด
3
ข้อ (ข) และ ข้อ (ค) ถูก แต่ ข้อ (ก) ผิด
4
ข้อ (ก) ข้อ (ข) และ ข้อ (ค) ถูกทั้งสามข้อ
5
ข้อ (ก) ข้อ (ข) และ ข้อ (ค) ผิดทั้งสามข้อ

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ m = \frac{1}{4} (1 + \sin θ) c o t θ และ n = \frac{1}{4} (1 - \sin θ) c o t θ จะได้ m = \frac{1}{4} (1 + \sin θ) c o t θ = \frac{c o t θ}{4} + \frac{\sin θ c o t θ}{4} n = \frac{1}{4} (1 - \sin θ) c o t θ = \frac{c o t θ}{4} - \frac{\sin θ c o t θ}{4}$

$หาค่า m + n m + n = (\frac{c o t θ}{4} + \frac{\sin θ c o t θ}{4}) + (\frac{c o t θ}{4} - \frac{\sin θ c o t θ}{4}) = \frac{c o t θ}{2}$

$หาค่า m - n m - n = (\frac{c o t θ}{4} + \frac{\sin θ c o t θ}{4}) - (\frac{c o t θ}{4} - \frac{\sin θ c o t θ}{4}) = \frac{2 \sin θ c o t θ}{4} = \frac{\sin θ c o t θ}{2} = \frac{\sin θ}{2} (\frac{\cos θ}{\sin θ}) = \frac{\cos θ}{2}$

$หา m n จะได้ m n = [\frac{1}{4} (1 + \sin θ) c o t θ] [\frac{1}{4} (1 - \sin θ) c o t θ] = \frac{1}{16} (1 + \sin θ) (1 - \sin θ) c o t^{2} θ = \frac{1}{16} (1 - \sin^{2} θ) c o t^{2} θ โดย 1 - \sin^{2} θ = \cos^{2} θ และ c o t θ = \frac{\cos θ}{\sin θ} จะได้ m n = \frac{1}{16} \cos^{2} θ (\frac{\cos^{2} θ}{\sin^{2} θ}) = \frac{1}{16} \frac{\cos^{4} θ}{\sin^{2} θ}$

$พิจารณาข้อความ ก) จากโจทย์ {(m^{2} - n^{2})}^{2} = m n หาค่า {(m^{2} - n^{2})}^{2} = {[(m - n) (m + n)]}^{2} = {[(\frac{\cos θ}{2}) (\frac{c o t θ}{2})]}^{2} = {(\frac{\cos θ}{2})}^{2} {(\frac{c o t θ}{2})}^{2} = \frac{1}{16} \cos^{2} θ c o t^{2} θ โดย c o t θ = \frac{\cos θ}{\sin θ} = \frac{1}{16} \frac{\cos^{4} θ}{\sin^{2} θ} = m n ข้อ (ก) ถูก$

$(ข) จากโจทย์ \sin θ = \frac{m - n}{m + n} หาค่า \frac{m - n}{m + n} = \frac{(\frac{\cos θ}{2})}{(\frac{c o t θ}{2})} = \frac{\cos θ}{c o t θ}; โดย c o t θ = \frac{\cos θ}{\sin θ} = \frac{\cos θ}{(\frac{\cos θ}{\sin θ})} = \sin θ ข้อ (ข) ถูก$

$(ค) จากโจทย์ m^{2} + n^{2} = \frac{1}{8} c o t^{2} θ \cos^{2} θ หาค่า m^{2} + n^{2} = (m^{2} - 2 m n + n^{2}) + 2 m n = {(m - n)}^{2} + 2 m n = {(\frac{\cos θ}{2})}^{2} + 2 (\frac{1}{16} \frac{\cos^{4} θ}{\sin^{2} θ}) = \frac{\cos^{2} θ}{4} + \frac{1}{8} \frac{\cos^{4} θ}{\sin^{2} θ} = \frac{\cos^{2} θ}{4} + \frac{1}{8} c o t^{2} θ \cos^{2} θ \neq \frac{1}{8} c o t^{2} θ \cos^{2} θ ข้อ (ค) ผิด$