ข้อสอบ A-Level คณิตประยุกต์ 1 ปี 2565 (หลักสูตรใหม่)

$$\begin{gathered} \mathrm{จากโจทย์} y=f\left(x\right) \mathrm{และ} f\left(x\right) = -x^2+k \mathrm{เมื่อ} k \mathrm{เป็นจำนวนจริงบวก} \\ \mathrm{จะได้ว่า} f\left(x\right) = y = -x^2+k \\ \mathrm{จากโจทย์} \mathrm{พื้นที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง} y = -x^2+k \mathrm{กับแกน} X \mathrm{เท่ากับ} 36 \mathrm{ตารางหน่วย} \\ \mathrm{วาดกราฟจากข้อมูลที่ทราบ} \end{gathered}$$ 

$$\begin{gathered} \mathrm{จาก} y = -x^2+k \\ y-k = -x^2 \\ x^2 = -\left(y-k\right) \Rightarrow \mathrm{กราฟพาราโบลาคว่ำ} \\ \mathrm{หาจุดตัดระหว่างพาราโบลากับแกน} X \mathrm{จากการแทน} y=0 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{จะได้ว่า} x^2 = -\left(0-k\right) \\ x^2 = k \\ x = -\sqrt{k} \mathrm{หรือ} \sqrt{k} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{จากเรื่องแคลคูลัส} \mathrm{เราสามารถหาพื้นที่ปิดล้อม} y=f\left(x\right) \mathrm{กับแกน} X \mathrm{ได้จาก} \\ \mathrm{พื้นที่} = {\int }_a^{b}f\left(x\right)dx \\ \mathrm{ทำให้จะได้ว่า} \mathrm{พื้นที่ปิดล้อม} y=-x^{{}^2}+k \mathrm{กับแกน} X \\ = {\int }_{-\sqrt{k}}^{\sqrt{k}}-x^2+kdx \\ 36 = { \frac{-x^3}{3}+kx|}_{-\sqrt{k}}^{\sqrt{k}} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} 36 = (\frac{-k^{{\displaystyle \raisebox{1ex}{$3$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.}}}{3}+k^{\raisebox{1ex}{$3$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.})-(\frac{k^{{\displaystyle \raisebox{1ex}{$3$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.}}}{3}-k^{\raisebox{1ex}{$3$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.}) \\ 36 = \frac{-2}{3}{k}^{\raisebox{1ex}{$3$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.}+2k^{\raisebox{1ex}{$3$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.} \\ 36 = \frac{4}{3}{k}^{\raisebox{1ex}{$3$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.} \\ k^{\raisebox{1ex}{$3$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.} = \frac{36\left(3\right)}{4} = 27 \\ k = 9 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{สรุปได้ว่า} y=f\left(x\right) = -x^2+9 \\ \mathrm{จะได้} f\left(-1\right)+f\left(1\right) = \left(-{\left(-1\right)}^2+9\right)+\left(-{\left(1\right)}^2+9\right) \\ = \left(-1+9\right)+\left(-1+9\right) \\ = 8+8 = 16 \\ \mathrm{ดังนั้น} f\left(-1\right)+f\left(1\right) = 16 \end{gathered}$$