ข้อสอบ A-Level คณิตประยุกต์ 1 ปี 2555 (วิชาสามัญเก่า)

ข้อ 24

กำหนดให้ $g$ เป็นฟังก์ชันพหุนามซึ่งมีจุด $(2, - 1)$ เป็นจุดต่ำสุดสัมพัทธ์ และกราฟของ $g$ ผ่านจุด $(1, 4)$

ถ้า $c$ เป็นค่าคงตัวที่ทำให้ฟังก์ชัน $f$ นิยามโดย $f (x) = \{\begin{cases} (c x^{2} + 1) g (x) เมื่อ x \geq 1 \\ 2 x + 10 เมื่อ x < 1 \end{cases}$

ต่อเนื่องที่จุด $x = 1$ แล้ว $f' (2)$ มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1
$- 8$
2
$- 4$
3
$0$
4
$4$
5
$8$

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ กราฟของ g ผ่านจุด (1, 4) แสดงว่า g (1) = 4 จากโจทย์ f (x) = \{\begin{cases} ({cx}^{2} + 1) g (x) เมื่อ x \geq 1 \\ 2 x + 10 เมื่อ x < 1 \end{cases} ต่อเนื่องที่จุด x = 1 จะได้ \lim_{x \to 1^{-}} f (x) = \lim_{x \to 1^{+}} f (x) เงื่อนไข 2 = เงื่อนไข 1 \lim_{x \to 1^{-}} (2 x + 10) = \lim_{x \to 1^{+}} ({cx}^{2} + 1) g (x) 2 (1) + 10 = (c + 1) (4) c = 2$

$จากโจทย์ f (x) = ({cx}^{2} + 1) g (x) เมื่อ x \geq 1 f (x) = (2 x^{2} + 1) g (x) เมื่อ x \geq 1 จะได้ f' (x) = (2 x^{2} + 1) g' (x) + g (x) \cdot \frac{d}{d x} (2 x^{2} + 1) = (2 x^{2} + 1) g' (x) + 4 x \cdot g (x)$

$หา f' (2) แทน x = 2 ใน f' (x) จะได้ f' (x) = [2 {(2)}^{2} + 1] g' (2) + 4 (2) \cdot g (2) f' (2) = 9 g' (2) + 8 g (2) \to 3 จากโจทย์ g มีจุด (2, - 1) เป็นจุดต่ำสุดสัมพัทธ์ แสดงว่า g (2) = - 1; g' (2) = 0 จาก 3 จะได้ f' (2) = 9 (0) + 8 (- 1) f' (2) = - 8$