ข้อสอบ A-Level คณิตประยุกต์ 1 ปี 2555 (วิชาสามัญเก่า)

ข้อ 9

กำหนดให้ $L_{1}$ เป็นเส้นตรงซึ่งมีสมการเป็น $4 x - 3 y + 10 = 0$ และ $L_{2}$ เป็นเส้นสัมผัสของเส้นโค้ง $y = x^{2} - \frac{8}{3} x + \frac{7}{3}$ ถ้า $L_{2}$ ขนานกับ $L_{1}$ แล้ว ระยะห่างระหว่างเส้นตรง $L_{1}$ และ $L_{2}$ เท่ากับเท่าใด

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ L_{1} เป็นเส้นตรงซึ่งมีสมการเป็น 4 x - 3 y + 10 = 0 จากสูตร Ax + By + C = 0 จะได้ m = \frac{- A}{B} จะได้ m_{L_{1}} = \frac{- A}{B} = \frac{- 4}{- 3} = \frac{4}{3}$

$จากโจทย์ L_{2} เป็นเส้นสัมผัสของเส้นโค้ง y = x^{2} - \frac{8}{3} x + \frac{7}{3} จะได้ m_{L_{2}} = \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (x^{2} - \frac{8}{3} x + \frac{7}{3}) = 2 x - \frac{8}{3}$

$จากโจทย์ L_{2} ขนานกับ L_{1} แสดงว่า m_{L_{2}} = m_{L_{1}} 2 x - \frac{8}{3} = \frac{4}{3} x = 2$

$หาจุดสัมผัส ที่ L_{2} สัมผัสเส้นโค้ง y = x^{2} - \frac{8}{3} x + \frac{7}{3} แทน x = 2 ใน y = x^{2} - \frac{8}{3} x + \frac{7}{3} จะได้ y = 2^{2} - \frac{8}{3} (2) + \frac{7}{3} = 4 - \frac{16}{3} + \frac{7}{3} = 1 แสดงว่า จุดสัมผัส = (2, 1)$

$จากสูตร ระยะห่างระหว่างจุดไปยังเส้นตรง (d) d = \frac{|{Ax}_{1} + {By}_{1} + C|}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}} จะได้ ระยะห่างระหว่างจุด (2, 1) ไปยังเส้นตรง 4 x - 3 y + 10 = 0 = \frac{|4 (2) - 3 (1) + 10|}{\sqrt{4^{2} + 3^{2}}} = \frac{|8 - 3 + 10|}{5} = \frac{15}{5} = 3 ดังนั้น ระยะห่างระหว่างเส้นตรง L_{1} และ L_{2} เท่ากับ 3$