ข้อสอบ A-Level คณิตประยุกต์ 1 ปี 2558 (วิชาสามัญเก่า)

ข้อ 18

ในระบบสมการเชิงเส้นที่มี 3 สมการ และ 3 ตัวแปร $x, y, z$ ถ้าหา $z$ ได้เท่ากับ $\frac{|\begin{matrix} 1 & 2 & 4 \\ 2 & - 3 & - 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{matrix}|}{|\begin{matrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & - 3 & 4 \\ 1 & 0 & 2 \end{matrix}|}$ จากการใช้กฎของคราเมอร์ แล้ว $x + y$ มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1
$- 4$
2
$- 2$
3
$2$
4
$4$
5
$6$

เฉลยข้อสอบ

$กฎของคราเมอร์ ในระบบสมการเชิงเส้นที่มี 3 สมการ 3 ตัวแปร a_{1} x + b_{1} y + c_{1} z = d a_{2} x + b_{2} y + c_{2} z = e a_{3} x + b_{3} y + c_{3} z = 𝑓 จะได้ z = \frac{|\begin{matrix} a_{1} & b_{1} & d \\ a_{2} & b_{2} & e \\ a_{3} & b_{3} & 𝑓 \end{matrix}|}{|\begin{matrix} a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3} \end{matrix}|} \to a$

$จากโจทย์ z = \frac{|\begin{matrix} 1 & 2 & 4 \\ 2 & - 3 & - 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{matrix}|}{|\begin{matrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & - 3 & 4 \\ 1 & 0 & 2 \end{matrix}|}; หา \det ทั้งเศษและส่วน จะได้ = \frac{(- 3 - 2 + 0) - (- 12 + 0 + 4)}{(- 6 + 8 + 0) - (- 3 + 0 + 8)} = \frac{- 5 - (- 8)}{2 - 5} = \frac{3}{- 3} = - 1 ดังนั้น z = - 1$

$จาก a เทียบกับ z ของโจทย์ จะได้ x + 2 y + z = 4 \to 1 2 x - 3 y + 4 z = - 1 x + 0 (y) + 2 z = 1 \to x + 2 z = 1; แทน z = - 1 x + 2 (- 1) = 1 x = 3$

$จาก 1 x + 2 y + z = 4; แทน x = 3, z = - 1 จะได้ 3 + 2 y + (- 1) = 4 2 y = 2 y = 1 ดังนั้น x + y = 3 + 1 = 4$