ข้อสอบ A-Level คณิตประยุกต์ 1 ปี 2558 (วิชาสามัญเก่า)

ข้อ 17

ผลบวกของคำตอบทั้งหมดของสมการ $x^{(\log_{2} x + 1)} = 64$

1
$\frac{33}{8}$
2
$\frac{31}{4}$
3
$\frac{33}{4}$
4
$4$
5
$8$

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ x^{(\log_{2} x + 1)} = 64; take \log_{2} ทั้ง 2 ข้าง จะได้ \log_{2} x^{(\log_{2} x + 1)} = \log_{2} 64; \log_{n} m^{a} = {alog}_{n} m (\log_{2} x + 1) \log_{2} x = \log_{2} 2^{6} (\log_{2} x + 1) \log_{2} x = 6 \log_{2} 2; \log_{a} a = 1 (\log_{2} x + 1) \log_{2} x = 6 \to 1$

$กำหนดให้ \log_{2} x = A; แทนใน 1 จะได้ (A + 1) A = 6 A^{2} + A - 6 = 0 (A + 3) (A - 2) = 0 จะได้ A + 3 = 0 หรือ A - 2 = 0 A = - 3 A = 2 - แทน A = \log_{2} x \log_{2} x = - 3 หรือ \log_{2} x = 2 x = 2^{- 3} x = 2^{2} x = \frac{1}{8} x = 4$

$ดังนั้น ผลบวกของคำตอบทั้งหมดของสมการ = \frac{1}{8} + 4 = \frac{33}{8}$