ข้อสอบ A-Level คณิตประยุกต์ 1 ปี 2558 (วิชาสามัญเก่า)

ข้อ 19

กำหนดให้ $A, B$ และ $C$ เป็นเมทริกซ์จตุรัส และ $I$ แทนเมทริกซ์เอกลักษณ์ โดยที่ $A, B, C$ และ $I$ มีมิติเท่ากัน พิจารณาข้อความต่อไปนี้

ก. ถ้า $A B = A C$ แล้ว $B = C$

ข. ถ้า $A^{2} = I$ แล้ว $A^{- 1} = A$

ค. ถ้า $A B = I$ และ $C A = I$ แล้ว $B = C$

ง. ถ้า $A B = I$ แล้ว $a d j (B) = [d e t (A)] A$

จำนวนข้อความที่ถูกต้องเท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1
$0$
2
$1$
3
$2$
4
$3$
5
$4$

เฉลยข้อสอบ

$(ก) จากโจทย์ ถ้า AB = AC แล้ว B = C กำหนดให้ A เป็นเมทริกซ์ 0 จะได้ AB = AC 0 B = 0 C 0 = 0 ดังนั้น B และ C ไม่จำเป็นต้องเท่ากัน (ถ้า A เป็นเมทริกซ์ 0) ข้อ (ก) ผิด$

$(ข) จากโจทย์ ถ้า A^{2} = I แล้ว A^{- 1} = A จาก A^{2} = I; ใส่ A^{- 1} ทั้ง 2 ข้าง จะได้ A^{- 1} \cdot A^{2} = A^{- 1} \cdot I; A^{- 1} \cdot A = I I \cdot A = A^{- 1} A = A^{- 1} ดังนั้น A = A^{- 1} ข้อ (ข) ถูกต้อง$

$(ค) จากโจทย์ ถ้า AB = I และ CA = I แล้ว B = C จาก AB = I; ใส่ A^{- 1} ทั้ง 2 ข้าง จะได้ A^{- 1} \cdot (AB) = A^{- 1} \cdot I I \cdot B = A^{- 1} B = A^{- 1} \to 1$

$จาก CA = I; ใส่ A^{- 1} ทั้ง 2 ข้าง จะได้ (CA) \cdot A^{- 1} = I \cdot A^{- 1} C \cdot I = A^{- 1}; เปรียบเทียบกับ 1 ดังนั้น B = A^{- 1} = C ข้อ (ค) ถูกต้อง$

$(ง) จากโจทย์ ถ้า AB = I แล้ว adj (B) = [\det (A)] A สูตรเมทริกซ์ A^{- 1} = \frac{1}{\det A} \cdot adj A; ใส่อินเวอร์สทั้ง 2 ข้าง จะได้ {(A^{- 1})}^{- 1} = {[\frac{1}{\det A} \cdot adj A]}^{- 1}; {(A^{- 1})}^{- 1} = A A = {(\frac{1}{\det A})}^{- 1} \cdot {(adj A)}^{- 1} A = \det A \cdot adj (A^{- 1}) \frac{1}{\det A} \cdot A = adj (A^{- 1}) adj (A^{- 1}) = \frac{1}{\det A} \cdot A; จาก 1 B = A^{- 1} ดังนั้น adj B = \frac{1}{\det A} \cdot A ข้อ (ง) ผิด$