ข้อสอบ A-Level คณิตประยุกต์ 1 ปี 2558 (วิชาสามัญเก่า)

ข้อ 29

กำหนดให้ $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}, \dots$ เป็นลำดับเรขาคณิต ซึ่งมี $r$ เป็นอัตราส่วนร่วม เมื่อ $0 < r < 1$ ถ้า $G_{n} = {(a_{1} a_{2} \dots a_{n})}^{\frac{1}{n}}$ แล้ว $\sum_{n = 1}^{\infty} G_{n}$ มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1
$\frac{a_{1}}{1 - r^{\frac{1}{2}}}$
2
$\frac{a_{1}}{\sqrt{1 - r}}$
3
$\frac{a_{1}}{1 - r^{2}}$
4
$\frac{a_{1}}{\sqrt{1 - r^{\frac{1}{2}}}}$
5
$\frac{a_{1}}{\sqrt{1 - r^{2}}}$

เฉลยข้อสอบ

$สูตรอนุกรมเรขาคณิต a_{n} = a_{1} r^{n - 1}; r = อัตราส่วน จากโจทย์ G_{n} = {(a_{1} a_{2} \dots a_{n})}^{\frac{1}{n}}; แทน n = 1, 2, 3, 4 n = 1 จะได้ G_{1} = {(a_{1})}^{\frac{1}{1}} = a_{1} n = 2 จะได้ G_{2} = {(a_{1} a_{2})}^{\frac{1}{2}} = \sqrt{a_{1} a_{2}}; a_{2} = a_{1} r = \sqrt{a_{1} (a_{1} r)} = a_{1} \sqrt{r}$

$n = 3 จะได้ G_{3} = {(a_{1} a_{2} a_{3})}^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{a_{1} a_{2} a_{3}}; a_{2} = a_{1} r, a_{3} = a_{1} r^{2} = \sqrt[3]{a_{1} (a_{1} r) (a_{1} r^{2})} = \sqrt[3]{a_{1}^{3} r^{3}} = a_{1} r n = 4 จะได้ G_{4} = {(a_{1} a_{2} a_{3} a_{4})}^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{a_{1} a_{2} a_{3} a_{4}} โดย a_{2} = a_{1} r, a_{3} = a_{1} r^{2}, a_{4} = a_{1} r^{3}; G_{4} = \sqrt[4]{a_{1} (a_{1} r) (a_{1} r^{2}) (a_{1} r^{3})} = \sqrt[4]{a_{1}^{4} r^{6}} = a_{1} r \sqrt[4]{r^{2}} = a_{1} r \sqrt{r}$

$หาค่า \sum_{n = 1}^{\infty} G_{n} = G_{1} + G_{2} + G_{3} + G_{4} + . . .; แทน G_{1}, G_{2}, G_{3}, G_{4} = a_{1} + a_{1} \sqrt{r} + a_{1} r + a_{1} r \sqrt{r} + . . . = a_{1} (1 + \sqrt{r} + r + r \sqrt{r} + . . .) \to 1 หาค่า 1 + \sqrt{r} + r + r \sqrt{r} + . . .; กำหนดให้ r' = \sqrt{r} สูตรอนุกรมอนันต์ S_{\infty} = \frac{a_{1}}{1 - r'}; S_{\infty} = 1 + \sqrt{r} + r + r \sqrt{r} + . . . 1 + \sqrt{r} + r + r \sqrt{r} + . . . = \frac{1}{1 - \sqrt{r}}; แทนใน 1$