ข้อสอบ A-Level คณิตประยุกต์ 1 ปี 2559 (วิชาสามัญเก่า)

ข้อ 27

ถ้า $𝑓 (x) = \sum_{k = 1}^{100} k \cdot x^{2 k - 1}$ แล้ว $\frac{1}{\sqrt{2}} 𝑓 (\sqrt{2})$ มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1
$1 + 99 \cdot 2^{99}$
2
$1 + 100 \cdot 2^{99}$
3
$\sqrt{2} + 99 \cdot 2^{99}$
4
$1 + 99 \cdot 2^{100}$
5
$1 + 100 \cdot 2^{100}$

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ 𝑓 (x) = \sum_{k = 1}^{100} k \cdot x^{2 k - 1} \frac{1}{\sqrt{2}} 𝑓 (x) = \frac{1}{\sqrt{2}} \sum_{k = 1}^{100} k \cdot x^{2 k - 1} แทน x = \sqrt{2} \frac{1}{\sqrt{2}} 𝑓 (\sqrt{2}) = \frac{1}{\sqrt{2}} \sum_{k = 1}^{100} k \cdot {\sqrt{2}}^{2 k - 1} = \frac{1}{\sqrt{2}} \sum_{k = 1}^{100} \frac{k \cdot {\sqrt{2}}^{2 k}}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2} \sum_{k = 1}^{100} k \cdot 2^{k} = \frac{1}{2} (1 \cdot 2^{1} + 2 \cdot 2^{2} + 3 \cdot 2^{3} + . . . + 100 \cdot 2^{100}) = 1 \cdot 2^{0} + 2 \cdot 2^{1} + 3 \cdot 2^{2} + . . . + 100 \cdot 2^{99}$

$กำหนดให้ S = \frac{1}{\sqrt{2}} 𝑓 (\sqrt{2}) จะได้ S = 1 \cdot 2^{0} + 2 \cdot 2^{1} + 3 \cdot 2^{2} + . . . + 100 \cdot 2^{99} \to 1 นำ 1 \times 2 2 S = 1 \cdot 2^{1} + 2 \cdot 2^{2} + . . . + 99 \cdot 2^{99} + 100 \cdot 2^{100} \to 2 นำ 1 - 2 - S = 1 \cdot 2^{0} + 1 \cdot 2^{1} + 1 \cdot 2^{2} + . . . + 1 \cdot 2^{99} - 100 \cdot 2^{100} - S = 1 \cdot 2^{0} + 2^{1} + 2^{2} + . . . + 2^{99} - 100 \cdot 2^{100} - S = (1 + 2^{1} + 2^{2} + . . . + 2^{99}) - 100 \cdot 2^{100} \to 3$

$สูตรอนุกรมมเรขาคณิต S_{n} = \frac{a_{1} (r^{n} - 1)}{r - 1} โดย a_{1} = 1, r = 2, n = 100 จาก 3 จะได้ - S = \frac{1 (2^{100} - 1)}{2 - 1} - 100 \cdot 2^{100} - S = 2^{100} - 1 - 100 \cdot 2^{100} - S = - 1 - 99 \cdot 2^{100} S = 1 + 99 \cdot 2^{100} ดังนั้น \frac{1}{\sqrt{2}} 𝑓 (\sqrt{2}) = 1 + 99 \cdot 2^{100}$

ข้อถัดไป