ข้อสอบ A-Level คณิตประยุกต์ 1 ปี 2559 (วิชาสามัญเก่า)

ข้อ 30

กำหนดให้ $P (x)$ เป็นพหุนามซึ่งมีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็มบวก ถ้า $P (1) = 10$ และ $P (10) = 2116$ แล้ว $P (- 1)$ เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1
$4$
2
$10$
3
$51$
4
$106$
5
$1, 053$

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ P (1) = 10 และ P (10) = 2, 116 แสดงว่า P (x) มีดีกรีไม่เกิน 3 เพราะ 10^{4} เกิน 2116 กำหนดให้ P (x) = {ax}^{3} + {bx}^{2} + cx + d; a, b, c, d \in \{0, 1, 2, . . .\} - จาก P (1) = 10 x = 1 จะได้ P (1) = a {(1)}^{3} + b {(1)}^{2} + c (1) + d 10 = a + b + c + d \to 1 แสดงว่า 0 \leq a, b, c, d \leq 9$

$- จาก P (10) = 2116 x = 10 จะได้ P (10) = a {(10)}^{3} + b {(10)}^{2} + c (10) + d 2116 = 1000 a + 100 b + 10 c + d \to 2 โดย 2116 = 2000 + 100 + 10 + 6 = (1000) (2) + (100) (1) + (10) (1) + 6 เทียบกับ 2 จะได้ a = 2, b = 1, c = 1, d = 6$

$- แทน a, b, c, d ใน 1 จะได้ P (x) = 2 x^{3} + x^{2} + x + 6 แทน x = - 1; P (- 1) = 2 {(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{2} + (- 1) + 6 = - 2 + 1 - 1 + 6 = 4 ดังนั้น P (- 1) = 4$