ข้อสอบ A-Level คณิตประยุกต์ 1 ปี 2559 (วิชาสามัญเก่า)

ข้อ 29

กำหนดให้ $A = [\begin{matrix} \cos \frac{π}{3} & - \sin \frac{π}{3} \\ \sin \frac{π}{3} & \cos \frac{π}{3} \end{matrix}]$ และ $S = \{1, 2, 3, . . ., 100\}$ ถ้าสุ่มสมาชิก $1$ ตัวจาก $S$ แล้วความน่าจะเป็นที่จะได้จำนวนนับ $k$ ซึ่ง $A^{k} = I$ โดยที่ $I$ เป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์ เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1
$\frac{9}{100}$
2
$\frac{16}{100}$
3
$\frac{18}{100}$
4
$\frac{24}{100}$
5
$\frac{29}{100}$

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ A = [\begin{matrix} \cos \frac{π}{3} & - \sin \frac{π}{3} \\ \sin \frac{π}{3} & \cos \frac{π}{3} \end{matrix}] กำหนดให้ [\begin{matrix} cosA & - sinA \\ sinA & cosA \end{matrix}] [\begin{matrix} cosB & - sinB \\ sinB & cosB \end{matrix}]$

$= [\begin{matrix} cosAcosB - sinAsinB & - cosAsinB - sinAcosB \\ sinAcosB + cosAsinB & - sinAsinB + cosAcosB \end{matrix}] = [\begin{matrix} cosAcosB - sinAsinB & - (sinBcosA + cosBsinA) \\ sinAcosB + cosAsinB & \cos AcosB - sinAsinB \end{matrix}] = [\begin{matrix} \cos (A + B) & - \sin (A + B) \\ \sin (A + B) & \cos (A + B) \end{matrix}] \begin{matrix} \end{matrix} แสดงว่า {[\begin{matrix} cosA & - sinA \\ sinA & cosA \end{matrix}]}^{n} = [\begin{matrix} \cos n A & - \sin n A \\ \sin n A & \cos n A \end{matrix}]$

$ดังนั้น A^{k} = {[\begin{matrix} \cos \frac{π}{3} & - \sin \frac{π}{3} \\ \sin \frac{π}{3} & \cos \frac{π}{3} \end{matrix}]}^{k} = [\begin{matrix} \cos \frac{kπ}{3} & - \sin \frac{kπ}{3} \\ \sin \frac{kπ}{3} & \cos \frac{kπ}{3} \end{matrix}] = [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}]$

$โดย \cos \frac{kπ}{3} = 1, \sin \frac{kπ}{3} = 0 จะได้ \frac{kπ}{3} = 2 nπ k = 6 n k = 6, 12, 18, . . ., 96 ทั้งหมด \frac{96 - 6}{6} + 1 = 16 ตัว ดังนั้น P (E) = \frac{16}{100}$