ข้อสอบ A-Level คณิตประยุกต์ 1 ปี 2560 (วิชาสามัญเก่า)

ข้อ 27

กำหนดให้ $𝑓 (x)$ เป็นฟังก์ชันพหุนามดีกรีสาม ซึ่งมีค่าวิกฤตที่ $x = 4$ และ $x = - 4$ พิจารณาข้อความต่อไปนี้

ก. $𝑓'' (- 4) \cdot 𝑓'' (4) < 0$

ข. $𝑓 (4 \sqrt{3}) = 2 𝑓 (0)$

ค. $𝑓 (- 4) + 𝑓 (4) = 2 𝑓 (0)$

ง. ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของ $𝑓 (- 2), 𝑓 (- 1), 𝑓 (0), 𝑓 (1), 𝑓 (2)$ เท่ากับ $𝑓 (0)$

จำนวนข้อความที่ถูกเท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1
$0$ (ไม่มีข้อความใดถูก)
2
$1$
3
$2$
4
$3$
5
$4$

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ f (x) เป็นฟังก์ชันพหุนามดีกรีสาม ซึ่งมีค่าวิกฤตที่ x = 4 และ x = - 4 แสดงว่า f' (x) ต้องเป็นฟังก์ชันพหุนามดีกรี 2 จะได้ f' (x) = a (x - 4) (x + 4); โดย a \neq 0 = a (x^{2} - 16); ดิฟ ทั้ง 2 ข้าง f'' (x) = a (2 x) = 2 a x$

$หา f (x) f (x) = \int f' (x) d x = \int a (x^{2} - 16) d x = \frac{a x^{3}}{3} - 16 a x + c$

$พิจารณาข้อความ (ก) f'' (- 4) \cdot f'' (4) < 0 จะได้ 2 a (- 4) \cdot 2 a (4) < 0 - 64 a^{2} < 0; โดย a^{2} > 0 เสมอ แสดงว่า - 64 a^{2} < 0 เป็นจริง ดังนั้น f'' (- 4) \cdot f'' (4) < 0 ข้อ (ก) ถูก$

$(ข) f (4 \sqrt{3}) = 2 f (0); โดย f (x) = \frac{a x^{2}}{3} - 16 a x + c \frac{a {(4 \sqrt{3})}^{3}}{3} - 16 a (4 \sqrt{3}) + c = 2 [\frac{a {(0)}^{3}}{3} - 16 a (0) + c] 64 \sqrt{3} a - 64 \sqrt{3} a + c = 2 (0 - 0 + c) c = 2 c ไม่เป็นจริง ดังนั้น f (4 \sqrt{3}) \neq 2 f (0) ข้อ (ข) ผิด$

$(ค) 𝑓 (- 4) + 𝑓 (4) = 2 𝑓 (0); โดย 𝑓 (x) = \frac{a x^{3}}{3} - 16 a x + c [\frac{a {(- 4)}^{3}}{3} - 16 a (- 4) + c] + [\frac{a {(4)}^{3}}{3} - 16 a (4) + c] = 2 [\frac{a {(0)}^{3}}{3} - 16 a (0) + c] [\frac{- a {(4)}^{3}}{3} + 64 a + c] + [\frac{a {(4)}^{3}}{3} - 64 a + c] = 2 (0 + 0 + c)$
$c + c = 2 c 2 c = 2 c เป็นจริง ดังนั้น 𝑓 (- 4) + 𝑓 (4) = 2 𝑓 (0) ข้อ (ค) ถูก (ง) ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของ f (- 2), f (- 1), f (0), f (1), f (2) เท่ากับ f (0) \frac{f (- 2) + f (- 1) + f (0) + f (1) + f (2)}{5} = f (0)$
$\frac{[f (- 2) + f (2)] + [f (- 1) + f (1)] + f (0)}{5} = f (0) \to 1 จาก (ค) f (- 4) + f (4) = 2 c แสดงว่า f (a) + f (- a) = 2 c จาก (ค) f (0) = c จาก 1 จะได้ \frac{2 c + 2 c + c}{5} = c \frac{5 c}{5} = c c = c เป็นจริง ดังนั้น ค่าเฉลี่ยเลขคณิต เท่ากับ f (0) ข้อ (ง) ถูก$