ข้อสอบ A-Level คณิตประยุกต์ 1 ปี 2560 (วิชาสามัญเก่า)

ข้อ 29

กำหนดให้ $A = \{1, 2, 3, . . ., 99, 100\}$ และ $B = {k \in A {(\frac{\cos \frac{5 π}{8} - isin \frac{5 π}{8}}{\cos \frac{3 π}{4} - isin \frac{3 π}{4}})}^{k} = i}$ โดยที่ $i^{2} = - 1$

จำนวนสมาชิกของ $B$ เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1
$5$
2
$7$
3
$9$
4
$11$
5
$13$

เฉลยข้อสอบ

$สูตรตรีโกณ \sin (- θ) = - \sin θ \cos (- θ) = \cos θ สูตรจำนวนเชิงซ้อน z = r (\cos θ + i \sin θ) = r c i s θ z^{n} = r^{n} [\cos (n θ) + i \sin (n θ)] = r^{n} c i s (n θ) z_{1} \cdot z_{2} = r_{1} \cdot r_{2} c i s (θ_{1} + θ_{2}) \frac{z_{1}}{z_{2}} = \frac{r_{1}}{r_{2}} c i s (θ_{1} - θ_{2})$

$จากโจทย์ B = {k \in A {(\frac{\cos \frac{5 π}{8} - isin \frac{5 π}{8}}{\cos \frac{3 π}{4} - isin \frac{3 π}{4}})}^{k} = i} \to 1 หาค่า \frac{\cos \frac{5 π}{8} - isin \frac{5 π}{8}}{\cos \frac{3 π}{4} - isin \frac{3 π}{4}}; เปลี่ยนเครื่องหมายตรงกลางให้เป็นบวก$

$= \frac{c o s (\frac{- 5 π}{8}) + i s i n (\frac{- 5 π}{8})}{c o s (\frac{- 3 π}{4}) + i s i n (\frac{- 3 π}{4})} = \frac{c i s (\frac{- 5 π}{8})}{c i s (\frac{- 3 π}{4})} = c i s [\frac{- 5 π}{8} - (\frac{- 3 π}{4})] = c i s [\frac{- 5 π}{8} + \frac{3 π}{4}] = c i s [\frac{- 5 π}{8} + \frac{6 π}{8}] = c i s \frac{π}{8}; แทนใน 1$

$จาก 1 {(\frac{\cos \frac{5 π}{8} - i \sin \frac{5 π}{8}}{\cos \frac{3 π}{4} - i \sin \frac{3 π}{4}})}^{k} = i; แทนค่า c i s \frac{π}{8} {(c i s \frac{π}{8})}^{k} = i c i s \frac{k π}{8} = i c i s \frac{k π}{8} = c i s (\frac{π}{2} + 2 n π) จะได้ \frac{k π}{8} = \frac{π}{2} + 2 n π k = 4 + 16 n โดย k \in A$

$จากโจทย์ A = \{1, 2, 3, \dots, 99, 100\} จะได้ 1 \leq k \leq 100 1 \leq 4 + 16 n \leq 100 - 3 \leq 16 n \leq 96 - \frac{3}{16} \leq n \leq 6 แสดงว่า n = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 \to มี 7 จำนวน ดังนั้น จำนวนสมาชิกของ S เท่ากับ 7$