ข้อสอบ A-Level คณิตประยุกต์ 1 ปี 2563 (วิชาสามัญเก่า)

$$\begin{gathered} \mathrm{จากคุณสมบัตของวงรี} \\ \frac{{\left(x-h\right)}^2}{a^2}+\frac{{\left(y-k\right)}^2}{b^2} = 1 \\ c^2 = a^2-b^2 \\ \mathrm{จากคุณสมบัติของไฮเพอร์โบลา} \\ \frac{{\left(x-h\right)}^2}{a^2}-\frac{{\left(y-k\right)}^2}{b^2} = 1 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{จากโจทย์} \mathrm{จุดศูนย์กลางของทั้ง} 2 \mathrm{กราฟ} \\ \mathrm{จะอยู่กึ่งกลางระหว่างจุดโฟกัส} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{จะได้} \mathrm{จุดศูนย์กลาง} \left(h, k\right) = \left(\frac{0+6}{2}, 0\right) = \left(3, 0\right) \\ \mathrm{และ} \mathrm{จะได้ระยะโฟกัสจาก} \left(3, 0\right) \mathrm{ไป} \left(0, 0\right) \mathrm{คือ} c = 3-0 = 3 \\ \mathrm{โจทย์กำหนดให้ระยะทางจากจุดตัดไปยังจุดโฟกัส} \\ 6 \mathrm{หน่วย} \mathrm{และ} 2 \mathrm{หน่วย} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{จากสมบัติของวงรี} \mathrm{ความยาวแกนเอก} = 6+2 = 8 \\ \mathrm{จะได้} a = \frac{8}{2} = 4 \\ b = \sqrt{a^2-c^2} = \sqrt{4^2-3^2} = \sqrt{7} \\ \mathrm{สมการคือ} \frac{{\left(x-3\right)}^2}{16}+\frac{y^2}{7} = 1 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{จากสมบัติของไฮเพอร์โบลา} \\ \mathrm{จะได้} \mathrm{ความยาวแกนตามขวาง} = 6-2 = 4 \\ a = \frac{4}{2} = 2 \\ b = \sqrt{c^2-a^2} = \sqrt{3^2-2^2} = \sqrt{5} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{สมการคือ} \frac{{\left(x-3\right)}^2}{4}-\frac{y^2}{5} = 1 \\ \mathrm{ตอบ} 2 \end{gathered}$$