ข้อสอบ A-Level คณิตประยุกต์ 1 ปี 2563 (วิชาสามัญเก่า)

ข้อ 14

กำหนดให้ $θ \in (0, \frac{π}{2})$ ถ้า $\frac{\sin^{2} 3 θ}{\sin^{2} θ} - \frac{\cos^{2} 3 θ}{\cos^{2} θ} = 1$ แล้ว $\cos θ$ มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1
$\frac{1}{8}$
2
$\frac{2}{5}$
3
$\frac{3}{7}$
4
$\frac{2}{3}$
5
$\frac{3}{4}$

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$จากสูตรมุมสามเท่า \sin 3 θ = 3 \sin θ - 4 \sin^{3} θ \cos 3 θ = 4 \cos^{2} θ - 3 \cos θ จากโจทย์ \frac{\sin^{2} 3 θ}{\sin^{2} θ} - \frac{\cos^{2} 3 θ}{\cos^{2} θ} = 1$

$จะได้ \frac{{(3 \sin θ - 4 \sin^{2} θ)}^{2}}{\sin^{2} θ} - \frac{{(4 \cos^{3} θ - 3 \cos θ)}^{2}}{\cos^{2} θ} = 1 \frac{{(\sin θ (3 - 4 \sin^{2} θ))}^{2}}{\sin^{2} θ} - \frac{{(\cos θ (4 \cos^{2} θ - 3))}^{2}}{\cos^{2} θ} = 1$

$\frac{\sin^{2} θ {(3 - 4 \sin^{2} θ)}^{2}}{\sin^{2} θ} - \frac{\cos^{2} θ {(4 \cos^{2} θ - 3)}^{2}}{\cos^{2} θ} = 1 {(3 - 4 \sin^{2} θ)}^{2} - {(4 \cos^{2} θ - 3)}^{2} = 1 [(3 - 4 \sin^{2} θ) - (4 \cos^{2} θ - 3)] [(3 - 4 \sin^{2} θ) + (4 \cos^{2} θ - 3)] = 1$

$(6 - 4 \sin^{2} θ - 4 \sin^{2} θ) (- 4 \sin^{2} θ + 4 \cos^{2} θ) = 1 (6 - 4 (\sin^{2} θ + \cos^{2} θ)) (4) (\cos^{2} θ - \sin^{2} θ) = 1 (6 - 4 (1)) (4) (\cos^{2} θ - (- (1 - \cos^{2} θ))) = 1$

$- 1 + 2 \cos^{2} θ = \frac{1}{8} \cos^{2} θ = \frac{9}{16} \cos θ = \frac{3}{4}$

$เนื่องจาก θ \in (0, \frac{π}{2}) \cos ต้องเป็นบวก ดังนั้น ตอบ 5$

ข้อถัดไป