ข้อสอบ A-Level คณิตประยุกต์ 1 ปี 2563 (วิชาสามัญเก่า)

ข้อ 15

กำหนดให้วงรี $E$ และ ไฮเพอร์โบลา $H$ มีโฟกัสร่วมกัน คือ $(0, 0)$ และ $(6, 0)$ และระยะทางระหว่างจุดตัดใด ๆ ของ $E$ และ $H$ กับจุดโฟกัสทั้งสอง คือ $6$ หน่วย และ $2$ หน่วย สมการของวงรี และสมการของไฮเพอร์โบลา ตามลำดับคือข้อใดต่อไปนี้

1
$\frac{{(x - 3)}^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{7} = 1 และ \frac{{(x - 3)}^{2}}{5} - \frac{y^{2}}{4} = 1$
2
$\frac{{(x - 3)}^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{7} = 1 และ \frac{{(x - 3)}^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{5} = 1$
3
$\frac{{(x - 3)}^{2}}{7} + \frac{y^{2}}{16} = 1 และ \frac{{(x - 3)}^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{5} = 1$
4
$\frac{{(x - 3)}^{2}}{5} + \frac{y^{2}}{4} = 1 และ \frac{{(x - 3)}^{2}}{7} - \frac{y^{2}}{16} = 1$
5
$\frac{{(x - 3)}^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{5} = 1 และ \frac{{(x - 3)}^{2}}{7} - \frac{y^{2}}{16} = 1$

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$จากคุณสมบัตของวงรี \frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1 c^{2} = a^{2} - b^{2} จากคุณสมบัติของไฮเพอร์โบลา \frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

$จากโจทย์ จุดศูนย์กลางของทั้ง 2 กราฟ จะอยู่กึ่งกลางระหว่างจุดโฟกัส$

$จะได้ จุดศูนย์กลาง (h, k) = (\frac{0 + 6}{2}, 0) = (3, 0) และ จะได้ระยะโฟกัสจาก (3, 0) ไป (0, 0) คือ c = 3 - 0 = 3 โจทย์กำหนดให้ระยะทางจากจุดตัดไปยังจุดโฟกัส 6 หน่วย และ 2 หน่วย$

$จากสมบัติของวงรี ความยาวแกนเอก = 6 + 2 = 8 จะได้ a = \frac{8}{2} = 4 b = \sqrt{a^{2} - c^{2}} = \sqrt{4^{2} - 3^{2}} = \sqrt{7} สมการคือ \frac{{(x - 3)}^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{7} = 1$

$จากสมบัติของไฮเพอร์โบลา จะได้ ความยาวแกนตามขวาง = 6 - 2 = 4 a = \frac{4}{2} = 2 b = \sqrt{c^{2} - a^{2}} = \sqrt{3^{2} - 2^{2}} = \sqrt{5}$

$สมการคือ \frac{{(x - 3)}^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{5} = 1 ตอบ 2$

ข้อถัดไป