ข้อสอบ A-Level คณิตประยุกต์ 1 ปี 2564 (หลักสูตรใหม่)

$$\begin{gathered} \mathrm{รูปที่} 1 \\ \mathrm{จากโจทย์} \mathrm{ส่วนโค้งของวงกลมที่วัดจากจุด} \left(2, 0\right) \mathrm{ไปยังจุด} \left(-\sqrt{3}, y\right) \\ \mathrm{แสดงว่า} \mathrm{เป็นวงกลม} 2 \mathrm{หน่วย} \\ - \mathrm{ถ้าเป็นวงกลม} 1 \mathrm{หน่วย} \\ \mathrm{จะได้} \mathrm{ส่วนโค้งของวงกลมที่วัดจากจุด} \left(1, 0\right) \mathrm{ไปยังจุด} \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}, y\right) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{นิยามวงกลม} 1 \mathrm{หน่วย} \\ x=\cos \theta , y=\sin \theta \\ \mathrm{จะได้} x=\frac{-\sqrt{3}}{2} \\ \cos \alpha = \frac{-\sqrt{3}}{2} (\mathrm{โดย} \cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2}) \\ -\mathrm{โดย} \cos \theta < 0 \mathrm{จะได้} Q_2 , Q_3 (\mathrm{จากรูปที่} 1 \mathrm{มุม} \alpha \mathrm{อยู่} Q_2) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{แสดงว่า} \alpha = 180°-30° = 150° \\ \alpha = 150\times \frac{\mathrm{\pi }}{180} = \frac{5\mathrm{\pi }}{6}rad \\ \mathrm{จากสูตร} \mathrm{ความยาวส่วนโค้ง} \left(S\right) = \theta R \mathrm{หรือ} \theta = \frac{S}{R} \\ \mathrm{จากโจทย์} A \mathrm{แทนความยาวของส่วนโค้ง} \\ \mathrm{จะได้} A = \alpha R = \left(\frac{5\mathrm{\pi }}{6}\right)\left(2\right) \\ A = \frac{5\mathrm{\pi }}{3} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{รูปที่} 2 (\mathrm{วงกลม} 1 \mathrm{หน่วย}) \\ \mathrm{จากสูตร} S = \theta R \\ \mathrm{จะได้} A = \beta R \\ \frac{5\mathrm{\pi }}{3} = \beta \left(1\right) \\ \beta = \frac{5\mathrm{\pi }}{3} = 300° \end{gathered}$$
$$\begin{gathered} \mathrm{ดังนั้น} \cos \alpha +\sin \beta = \frac{-\sqrt{3}}{2}+\sin 300° \\ = \frac{-\sqrt{3}}{2}+\left(-\sin 60°\right) \\ = \frac{-\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2} = -\sqrt{3} \end{gathered}$$