ข้อสอบ A-Level คณิตประยุกต์ 1 ปี 2564 (หลักสูตรใหม่)

ข้อ 23

ให้ $A$ แทนความยาวของส่วนโค้งของวงกลมที่วัดจากจุด $(2, 0)$ ไปยังจุด $(- \sqrt{3}, y)$ โดยที่ $y > 0$ และมุมที่จุดศูนย์กลางของวงกลมมีขนาด $α$ เรเดียน ดังรูปที่ $1$

ให้มุมที่จุดศูนย์กลางของวงกลมหนึ่งหน่วย ที่รองรับด้วยส่วนโค้งที่ยาว $A$ หน่วย มีขนาด $β$ เรเดียน ดังรูปที่ $2$

$\cos α + \sin β$ เท่ากับเท่าใด

1
$- \sqrt{3}$
2
$- \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}$
3
$\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}$
4
$1$
5
$\sqrt{3}$

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$รูปที่ 1 จากโจทย์ ส่วนโค้งของวงกลมที่วัดจากจุด (2, 0) ไปยังจุด (- \sqrt{3}, y) แสดงว่า เป็นวงกลม 2 หน่วย - ถ้าเป็นวงกลม 1 หน่วย จะได้ ส่วนโค้งของวงกลมที่วัดจากจุด (1, 0) ไปยังจุด (- \frac{\sqrt{3}}{2}, y)$

$นิยามวงกลม 1 หน่วย x = \cos θ, y = \sin θ จะได้ x = \frac{- \sqrt{3}}{2} \cos α = \frac{- \sqrt{3}}{2} (โดย \cos 30 ° = \frac{\sqrt{3}}{2}) - โดย \cos θ < 0 จะได้ Q_{2}, Q_{3} (จากรูปที่ 1 มุม α อยู่ Q_{2})$

$แสดงว่า α = 180 ° - 30 ° = 150 ° α = 150 \times \frac{π}{180} = \frac{5 π}{6} r a d จากสูตร ความยาวส่วนโค้ง (S) = θ R หรือ θ = \frac{S}{R} จากโจทย์ A แทนความยาวของส่วนโค้ง จะได้ A = α R = (\frac{5 π}{6}) (2) A = \frac{5 π}{3}$

$รูปที่ 2 (วงกลม 1 หน่วย) จากสูตร S = θ R จะได้ A = β R \frac{5 π}{3} = β (1) β = \frac{5 π}{3} = 300 °$
$ดังนั้น \cos α + \sin β = \frac{- \sqrt{3}}{2} + \sin 300 ° = \frac{- \sqrt{3}}{2} + (- \sin 60 °) = \frac{- \sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} = - \sqrt{3}$

ข้อถัดไป