ข้อสอบ A-Level คณิตประยุกต์ 1 ปี 2564 (หลักสูตรใหม่)

ข้อ 24

ให้ $a_{n}$ เป็นลำดับซึ่ง $a_{1} = 1, a_{2} = 3$ และ $a_{n + 1} = a_{n} + a_{n - 1}$ เมื่อ $n \in \{2, 3, 4, \dots\}$ ค่าของ $\sum_{n = 2}^{\infty} \frac{a_{n}}{a_{n - 1} \cdot a_{n + 1}}$ เท่ากับเท่าใด

1
หาผลบวกไม่ได้ เพราะอนุกรมนี้เป็นอนุกรมลู่ออก
2
$\frac{3}{4}$
3
$1$
4
$\frac{4}{3}$
5
$2$

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ a_{n + 1} = a_{n} + a_{n - 1} จะได้ a_{n} = a_{n + 1} - a_{n - 1} จากโจทย์ \sum_{n = 2}^{\infty} \frac{a_{n}}{a_{n - 1} \cdot a_{n + 1}}$

$จะได้ \sum_{n = 2}^{\infty} \frac{a_{n}}{a_{n - 1} \cdot a_{n + 1}} = \sum_{n = 2}^{\infty} \frac{a_{n + 1} - a_{n - 1}}{a_{n - 1} \cdot a_{n + 1}} = \sum_{n = 2}^{\infty} (\frac{a_{n + 1}}{a_{n - 1} \cdot a_{n + 1}} - \frac{a_{n - 1}}{a_{n - 1} \cdot a_{n + 1}})$

$= \sum_{n = 2}^{\infty} (\frac{1}{a_{n - 1}} - \frac{1}{a_{n + 1}}) = (\frac{1}{a_{1}} - \frac{1}{a_{3}}) + (\frac{1}{a_{2}} - \frac{1}{a_{4}}) + (\frac{1}{a_{3}} - \frac{1}{a_{5}}) + (\frac{1}{a_{4}} - \frac{1}{a_{6}})$

$= \frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} - \frac{1}{a_{n + 1}}; โดย a_{n + 1} = \infty \to \frac{1}{a_{n + 1}} = 0 = \frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}}$

$จากโจทย์ a_{1} = 1, a_{2} = 3 จะได้ \sum_{n = 2}^{\infty} \frac{a_{n}}{a_{n - 1} \cdot a_{n + 1}} = \frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} = \frac{1}{1} + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$