ข้อสอบ A-Level คณิตประยุกต์ 1 ปี 2564 (หลักสูตรใหม่)

$\mathrm{จากโจทย์} f\text{'}\left(x\right) = \left\{\begin{array}{ll}{x}^2+ax& \mathrm{เมื่อ} x<1\\ x^2+a& \mathrm{เมื่อ} x\ge 1\end{array}\right.$

$$\begin{gathered} \mathrm{จะได้} f\left(x\right) = \int f\text{'}\left(x\right) = \left\{\begin{array}{ll}\int \left(x^2+ax\right)dx& \mathrm{เมื่อ} x < 1\\ \int \left(x^2+a\right)dx& \mathrm{เมื่อ} x \ge 1\end{array}\right. \\ f\left(x\right) = \left\{\begin{array}{ll}\frac{x^3}{3}+\frac{a{x}^2}{2}+b\to \overline{)1}& \mathrm{เมื่อ} x < 1\\ \frac{x^3}{3}+ax+c\to \overline{)2}& \mathrm{เมื่อ} x \ge 1\end{array}\right. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{จากโจทย์} f\left(0\right) = 10 ; x=0 \mathrm{เลือกสมการ} \overline{)1} \\ \mathrm{จาก} \overline{)1} f\left(x\right) = \frac{x^3}{3}+\frac{a{x}^2}{2}+b ; \mathrm{แทน} x=0 \\ \mathrm{จะได้} f\left(0\right) = \frac{0^3}{3}+\frac{a{\left(0\right)}^2}{2}+b \\ 10 = 0+0+b \to b = 10 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{จากโจทย์} f\left(3\right) = 9 ; x=3 \mathrm{เลือกสมการ} \overline{)2} \\ \mathrm{จาก} \overline{)2} f\left(x\right) = \frac{x^3}{3}+ax+c ; \mathrm{แทน} x=3 \\ \mathrm{จะได้} f\left(3\right) = \frac{{\left(3\right)}^3}{3}+a\left(3\right)+c \\ 9 = \frac{27}{3}+a\left(3\right)+c \\ 3a+c = 0 \to \overline{)3} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{จากโจทย์} f \mathrm{เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนเซตของจำนวนจริง} \\ \mathrm{แสดงว่า} f \mathrm{ต่อเนื่องที่} x=1 \mathrm{ซึ่งเป็นรอยต่อของ} f \mathrm{ด้วย} \\ \mathrm{จะได้} \underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right) = \underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right) \\ - \mathrm{โดย} x\to 1^{-} \mathrm{เลือกสมการ} \overline{)1} \\ x\to 1^{+} \mathrm{เลือกสมการ} \overline{)2} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{จะได้} \underset{x\to 1^{-}}{\lim }\left(\frac{x^3}{3}+\frac{a{x}^2}{2}+b\right) = \underset{x\to 1^{+}}{\lim }\left(\frac{x^3}{3}+ax+c\right) \\ \underset{x\to 1^{-}}{\lim }\left(\frac{x^3}{3}+\frac{a{x}^2}{2}+10\right) = \underset{x\to 1^{+}}{\lim }\left(\frac{x^3}{3}+ax+c\right) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \frac{1^3}{3}+\frac{a{\left(1\right)}^2}{2}+10 = \frac{1^3}{3}+a\left(1\right)+c \\ \frac{1^3}{3}+\frac{a}{2}+10 = \frac{1^3}{3}+a+c \\ a+20 = 2a+2c \\ a+2c = 20 \to \overline{)4} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} - \mathrm{จาก} \overline{)3} , \overline{)4} \mathrm{แก้} 2 \mathrm{สมการ} 2 \mathrm{ตัวแปร} \\ \mathrm{จะได้} a = -4 \end{gathered}$$