ข้อสอบ A-Level คณิตประยุกต์ 1 ปี 2564 (หลักสูตรใหม่)

ข้อ 25

ให้ $f$ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนเซตของจำนวนจริงซึ่ง $f (0) = 10, f (3) = 9$

และ $f' (x) = \{\begin{cases} x^{2} + a x & เมื่อ x < 1 \\ x^{2} + a & เมื่อ x \geq 1 \end{cases}$ โดยที่ $a$ เป็นจำนวนจริง $a$ เท่ากับเท่าใด

1
$4$
2
$2$
3
$0$
4
$- 2$
5
$- 4$

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ f' (x) = \{\begin{cases} x^{2} + a x & เมื่อ x < 1 \\ x^{2} + a & เมื่อ x \geq 1 \end{cases}$

$จะได้ f (x) = \int f' (x) = \{\begin{cases} \int (x^{2} + a x) d x & เมื่อ x < 1 \\ \int (x^{2} + a) d x & เมื่อ x \geq 1 \end{cases} f (x) = \{\begin{cases} \frac{x^{3}}{3} + \frac{a x^{2}}{2} + b \to 1 & เมื่อ x < 1 \\ \frac{x^{3}}{3} + a x + c \to 2 & เมื่อ x \geq 1 \end{cases}$

$จากโจทย์ f (0) = 10; x = 0 เลือกสมการ 1 จาก 1 f (x) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{a x^{2}}{2} + b; แทน x = 0 จะได้ f (0) = \frac{0^{3}}{3} + \frac{a {(0)}^{2}}{2} + b 10 = 0 + 0 + b \to b = 10$

$จากโจทย์ f (3) = 9; x = 3 เลือกสมการ 2 จาก 2 f (x) = \frac{x^{3}}{3} + a x + c; แทน x = 3 จะได้ f (3) = \frac{{(3)}^{3}}{3} + a (3) + c 9 = \frac{27}{3} + a (3) + c 3 a + c = 0 \to 3$

$จากโจทย์ f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนเซตของจำนวนจริง แสดงว่า f ต่อเนื่องที่ x = 1 ซึ่งเป็นรอยต่อของ f ด้วย จะได้ \lim_{x \to 1^{-}} f (x) = \lim_{x \to 1^{+}} f (x) - โดย x \to 1^{-} เลือกสมการ 1 x \to 1^{+} เลือกสมการ 2$

$จะได้ \lim_{x \to 1^{-}} (\frac{x^{3}}{3} + \frac{a x^{2}}{2} + b) = \lim_{x \to 1^{+}} (\frac{x^{3}}{3} + a x + c) \lim_{x \to 1^{-}} (\frac{x^{3}}{3} + \frac{a x^{2}}{2} + 10) = \lim_{x \to 1^{+}} (\frac{x^{3}}{3} + a x + c)$

$\frac{1^{3}}{3} + \frac{a {(1)}^{2}}{2} + 10 = \frac{1^{3}}{3} + a (1) + c \frac{1^{3}}{3} + \frac{a}{2} + 10 = \frac{1^{3}}{3} + a + c a + 20 = 2 a + 2 c a + 2 c = 20 \to 4$

$- จาก 3, 4 แก้ 2 สมการ 2 ตัวแปร จะได้ a = - 4$

ข้อถัดไป