ข้อสอบ PAT 1 - กุมภาพันธ์ 2561

ข้อ 36

กำหนดให้ฟังก์ชัน $f (x) = a x^{2} + b x + c$ เมื่อ $a, b, c$ เป็นจำนวนจริง ถ้า $f (- 1) + f (1) = 14$ , $f' (1) = 2 f (1)$ และ $f' (0) + f'' (0) = 6$ แล้ว $\int_{0}^{1} f (3 x) d x$ เท่ากับเท่าใด

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ f (x) = {ax}^{2} + bx + c \to A จาก A แทน x = 1 จะได้ f (1) = a {(1)}^{2} + b (1) + c f (1) = a + b + c$

$จาก A แทน x = - 1 จะได้ f (- 1) = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + c f (- 1) = a - b + c จาก A หา f' (x) จะได้ f' (x) = 2 ax + b \to B แทน x = 1 f' (1) = 2 a (1) + b f' (1) = 2 a + b$

$แทน x = 0 f' (0) = 2 a (0) + b f' (0) = b จาก B หา f'' (x) จะได้ f'' (x) = 2 a แทน x = 0 f'' (0) = 2 a$

$จากโจทย์ f (- 1) + f (1) = 14 จะได้ (a - b + c) + (a + b + c) = 14 2 a + 2 c = 14 a + c = 7 \to 1 จากโจทย์ f' (1) = 2 f (1) จะได้ 2 a + b = 2 (a + b + c) 2 a + b = 2 a + 2 b + 2 c b + 2 c = 0 \to 2$

$จากโจทย์ f' (0) + f'' (0) = 6 b + 2 a = 6 2 a + b = 6 \to 3 - จาก 1, 2, 3 แก้ 3 สมการ 3 ตัวแปร จะได้ a = 5, b = - 4, c = 2 แทน a, b, c ใน A จะได้ f (x) = 5 x^{2} - 4 x + 2$

$f (3 x) = 5 {(3 x)}^{2} - 4 (3 x) + 2 f (3 x) = 45 x^{2} - 12 x + 2 ดังนั้น \int_{0}^{1} f (3 x) dx = \int_{0}^{1} (45 x^{2} - 12 x + 2) d x = {\frac{45 x^{3}}{3} - \frac{12 x^{2}}{2} + 2 x}_{0}^{1} = {15 x^{3} - 6 x^{2} + 2 x}_{0}^{1} = (15 - 6 + 2) - (0 - 0 + 0) = 11$