ข้อสอบ PAT 1 - กุมภาพันธ์ 2561

ข้อ 37

กำหนดให้ฟังก์ชัน $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + 1$ เมื่อ $a, b$ เป็นจำนวนจริง

ถ้า $\lim_{x \to 2} \frac{f (x) - f (2)}{x - 2} = 0$ และ $\int_{0}^{1} f (x) d x = \frac{1}{4}$ แล้ว $\lim_{x \to 4} \frac{f' (x) - f' (4)}{x - 4}$ เท่ากับเท่าใด

เฉลยข้อสอบ

$นิยาม \lim_{h \to 0} \frac{f (a + h) - f (a)}{h} = f' (a) จากโจทย์ \lim_{x \to 2} \frac{f (x) - f (2)}{x - 2} = 0 f' (2) = 0 จากโจทย์ f (x) = {ax}^{3} + {bx}^{2} + 1 f' (x) = 3 {ax}^{2} + 2 bx \to A - แทน x = 2 จะได้ f' (2) = 3 a {(2)}^{2} + 2 b (2); โดย f' (2) = 0$
$0 = 12 a + 4 b 3 a + b = 0 \to 1 จากโจทย์ \int_{0}^{1} f (x) dx = \frac{1}{4} จะได้ \int_{0}^{1} ({ax}^{3} + {bx}^{2} + 1) d x = \frac{1}{4} {a \frac{x^{4}}{4} + b \frac{x^{3}}{3} + x}_{0}^{1} = \frac{1}{4} [a \frac{{(1)}^{4}}{4} + b \frac{{(1)}^{3}}{3} + 1] - [0 + 0 + 0] = \frac{1}{4}$

$\frac{a}{4} + \frac{b}{3} = - \frac{3}{4} 3 a + 4 b = - 9 \to 2 - จาก 1, 2 แก้ 2 สมการ 2 ตัวแปร จะได้ a = 1, b = - 3; แทนใน A จาก A จะได้ f' (x) = 3 (1) x^{2} + 2 (- 3) x f' (x) = 3 x^{2} - 6 x$

$ดังนั้น \lim_{x \to 4} \frac{f' (x) - f' (4)}{x - 4} = f'' (4) = \frac{d}{dx} {[f' (x)]}_{x = 4} = \frac{d}{dx} {(3 x^{2} - 6 x)}_{x = 4} = {6 x - 6}_{x = 4} = 6 (4) - 6 = 18$