ข้อสอบ PAT 1 - กุมภาพันธ์ 2561

ข้อ 38

คนกลุ่มหนึ่งมีผู้ชาย $n$ คน ผู้หญิง $n + 1$ คน เมื่อ $n$ เป็นจำนวนเต็มบวก ต้องการจัดคนกลุ่มนี้ยืนเรียงแถวเป็นแนวตรงเพียงหนึ่งแถว ถ้าจำนวนวิธีจัดคนกลุ่มนี้ยืนเรียงแถวแนวตรง โดยไม่มีผู้ชายสองคนใดยืนติดกัน เท่ากับสองเท่าของจำนวนวิธีจัดคนกลุ่มนี้ยืนเรียงแถวเป็นแนวตรงโดยผู้ชายยืนติดกันทั้งหมด แล้วคนกลุ่มนี้มีทั้งหมดกี่คน

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ จำนวนวิธีจัดคนกลุ่มนี้ยืนเรียงแถวแนวตรง โดยไม่มีผู้ชายสองคนใดยืนติดกัน สมมติ มีชาย 3 คน ผู้หญิง 4 คน \overset{ช ช ช}{↓ ญ ↓ ญ ↓ ญ ↓ ญ ↓} - ผู้หญิง 4 คน จะได้ 4! วิธี - ผู้ชาย 3 คน เลือกได้ 5 ช่อง จะได้ P_{5, 3} = \frac{5!}{(5 - 3)!} จำนวนวิธี = 4! \times \frac{5!}{(5 - 3)!}$

$จากโจทย์ ผู้ชาย n หญิง n + 1 คน จะได้ - ผู้หญิง n + 1 คน จะได้ (n + 1)! - ผู้ชาย n คน เลือกได้ n + 2 ช่อง จะได้ P_{n + 2, n} = \frac{(n + 2)!}{[(n + 2) - n]!} = \frac{(n + 2)!}{2!} ดังนั้น จำนวนวิธี โดยไม่มีผู้ชายสองคนใดยืนติดกัน = (n + 1)! \frac{(n + 2)!}{2!}$

$จากโจทย์ จำนวนวิธีจัดคนยืนเรียงแถวแนวตรง โดยผู้ชายยืนติดกันทั้งหมด สมมติ มีผู้ชาย 3 คน ผู้หญิง 4 คน ช ช ช ญ ญ ญ ญ - ผู้ชาย 3 คน มัดรวมกันเป็น 1 ก้อน จะได้ 3! - ผู้หญิง 4 คน รวมกับผู้ชาย 1 ก้อน จะได้ (4 + 1)! = 5! วิธี จำนวนวิธี = 3! 5!$

$จากโจทย์ ผู้ชาย n ผู้หญิง n + 1 คน จะได้ - ผู้ชาย n คน มัดรวมกันเป็น 1 ก้อน จะได้ n! วิธี - ผู้หญิง n + 1 คน รวมกับผู้ชาย 1 คน จะได้ [(n + 1) + 1]! = (n + 2)! วิธี ดังนั้น จำนวนวิธีโดยผู้ชายยืนติดกันทั้งหมด = n! (n + 2)!$

$จากโจทย์ จำนวนวิธีโดยไม่มีผู้ชายสองคนใดยืนติดกัน เท่ากับสองเท่า ของจำนวนวิธีโดยผู้ชายยืนติดกันทั้งหมด จะได้ (n + 1)! \frac{(n + 2)!}{2!} = 2 [n! (n + 2)!] (n + 1)! = 4 n! (n + 1) n! = 4 n! n + 1 = 4 n = 3 ดังนั้น ผู้ชาย 3 คน ผู้หญิง 4 คน คนกลุ่มนี้มีทั้งหมด 7 คน$