ข้อสอบ PAT 1 - กุมภาพันธ์ 2561

ข้อ 8

ให้ $E$ เป็นวงรีรูปหนึ่งมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด $(1, - 2)$ และโฟกัสทั้งสองอยู่บนเส้นตรงที่ขนานกับแกน $x$ ถ้า $(4, 0)$ เป็นจุดบน $E$ และผลบวกของระยะทางจากจุด $(4, 0)$ ไปยังจุดโฟกัสทั้งสองเท่ากับ $8$ หน่วย แล้ววงรี $E$ ผ่านจุดในข้อใดต่อไปนี้

1
$(4, 2)$
2
$(2, 4)$
3
$(2, - 4)$
4
$(- 2, - 4)$
5
$(4, - 2)$

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ E เป็นวงรีรูปหนึ่งมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด (1, - 2) แสดงว่า (h, k) = (1, - 2) จากโจทย์ โฟกัสทั้งสองอยู่บนเส้นตรงที่ขนานกับแกน x แสดงว่า เป็นวงรีแนวนอน$

$จากสูตร \frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1 \frac{{(x - 1)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y + 2)}^{2}}{b^{2}} = 1 จากโจทย์ ผลบวกของระยะทางจากจุด (4, 0) ไปยังจุดโฟกัสทั้งสองเท่ากับ 8 หน่วย$
$จะได้ ความยาวแกนเอก (2 a) = 8 a = 4; แทนใน 1 จาก 1 จะได้ \frac{{(x - 1)}^{2}}{4^{2}} + \frac{{(y + 2)}^{2}}{b^{2}} = 1 โดย จุด (4, 0) เป็นจุดบน E จะได้ \frac{{(4 - 1)}^{2}}{4^{2}} + \frac{{(0 + 2)}^{2}}{b^{2}} = 1 \frac{9}{16} + \frac{4}{b^{2}} = 1 b^{2} = \frac{64}{7}; แทนใน 1$

$จาก 1 จะได้ \frac{{(x - 1)}^{2}}{4^{2}} + \frac{{(y + 2)}^{2}}{\frac{64}{7}} = 1 \frac{{(x - 1)}^{2}}{16} + \frac{7 {(y + 2)}^{2}}{64} = 1 \to 2 พิจารณาตัวเลือก ตัวเลือก 1) (4, 2) แทนใน 2 จะได้ \frac{{(4 - 1)}^{2}}{16} + \frac{7 {(2 + 2)}^{2}}{64} = 1 \frac{9}{16} + \frac{7}{4} = 1 ไม่เป็นจริง$

$ตัวเลือก 2) (2, 4) แทนใน 2 จะได้ \frac{{(2 - 1)}^{2}}{16} + \frac{7 {(4 + 2)}^{2}}{64} = 1 \frac{1}{16} + \frac{63}{16} = 1 ไม่เป็นจริง ตัวเลือก 3) (2, - 4) แทนใน 2 จะได้ \frac{{(2 - 1)}^{2}}{16} + \frac{7 {(- 4 + 2)}^{2}}{64} = 1 \frac{1}{16} + \frac{7}{16} = 1 ไม่เป็นจริง$

$ตัวเลือก 4) (- 2, - 4) แทนใน 2 จะได้ \frac{{(- 2 - 1)}^{2}}{16} + \frac{7 {(- 4 + 2)}^{2}}{64} = 1 \frac{9}{16} + \frac{7}{16} = 1 เป็นจริง ตัวเลือก 5) (4, - 2) แทนใน 2 จะได้ \frac{{(4 - 1)}^{2}}{16} + \frac{7 {(- 2 + 2)}^{2}}{64} = 1 \frac{9}{16} + 0 = 1 ไม่เป็นจริง$