ข้อสอบ PAT 1 - กุมภาพันธ์ 2561

ข้อ 7

ถ้า $0 < A, B < \frac{π}{2}$ สอดคล้องกับ $(1 + \tan A) (1 + \tan B) = 2$ แล้วค่าของ $\tan^{2} (\frac{A + B}{2})$ เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1
$3 - 2 \sqrt{2}$
2
$3 + 2 \sqrt{2}$
3
$5 - 2 \sqrt{2}$
4
$1 + \sqrt{2}$
5
$1 + 2 \sqrt{2}$

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ (1 + \tan A) (1 + \tan B) = 2 1 + tanB + tanA + tanAtanB = 2 tanA + tanB = 1 - tanAtanB \to 1 จากสูตร \tan (A + B) = \frac{tanA + tanB}{1 - tanAtanB} จาก 1 จะได้ = \frac{tanA + tanB}{tanA + tanB} = 1 A + B = \arctan 1$

$จากโจทย์ 0 < A, B < \frac{π}{2} แสดงว่า A + B = \frac{π}{4} จากสูตร \cos 2 θ = \frac{1 - \tan^{2} θ}{1 + \tan^{2} θ} cosθ = \frac{1 - \tan^{2} (\frac{θ}{2})}{1 + \tan^{2} (\frac{θ}{2})} \cos (A + B) = \frac{1 - \tan^{2} (\frac{A + B}{2})}{1 + \tan^{2} (\frac{A + B}{2})} \to 2$

$กำหนดให้ \tan^{2} (\frac{A + B}{2}) = x จาก 2 จะได้ \cos (A + B) = \frac{1 - x}{1 + x}; โดย A + B = \frac{π}{4} \cos \frac{π}{4} = \frac{1 - x}{1 + x} \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1 - x}{1 + x} \sqrt{2} (1 + x) = 2 (1 - x)$

$\sqrt{2} + \sqrt{2} x = 2 - 2 x (\sqrt{2} + 2) x = 2 - \sqrt{2} x = \frac{2 - \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}} x = \frac{2 - \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}} (\frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}) = \frac{4 - 4 \sqrt{2} + 2}{4 - 2} x = \frac{6 - 4 \sqrt{2}}{2} x = 3 - 2 \sqrt{2} ดังนั้น \tan^{2} (\frac{A + B}{2}) = 3 - 2 \sqrt{2}$