ข้อสอบ PAT 1 - กุมภาพันธ์ 2563

ข้อ 31

กำหนดให้ $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots, a_{n}, \dots$ เป็นลำดับเรขาคณิต โดยมี $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} = \frac{3}{2}$

และ $b_{1}, b_{2}, b_{3}, \dots, b_{n}, \dots$ เป็นลำดับเรขาคณิต โดยมี $\sum_{n = 1}^{\infty} b_{n} = 5$

ถ้า $a_{1} = 1$ และ $b_{1} = 7$ แล้ว $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{a_{n}}{b_{n}}$ เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1
$\frac{3}{70}$
2
$\frac{7}{70}$
3
$\frac{2}{77}$
4
$\frac{5}{77}$
5
$\frac{6}{77}$

เฉลยข้อสอบ

$จากสูตร เรขาคณิต a_{n} = a_{1} r^{n - 1} S_{\infty} = \frac{a_{1}}{1 - r}$

$สมมติให้อัตราส่วนร่วมของทั้งสองลำดับ คือ r_{a} และ r_{b} ตามลำดับ จะได้ \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} = \frac{a_{1}}{1 - r_{a}} และ \sum_{n = 1}^{\infty} b_{n} = \frac{b_{1}}{1 - r_{b}} \frac{3}{2} = \frac{1}{1 - r_{a}} 5 = \frac{7}{1 - r_{b}} r_{a} = \frac{1}{3} r_{b} = - \frac{2}{5}$

$จะได้ \frac{a_{n}}{b_{n}} = \frac{a_{1} {r_{a}}^{n - 1}}{a_{1} {r_{b}}^{n - 1}} = \frac{1 {(\frac{1}{3})}^{n - 1}}{7 {(- \frac{2}{5})}^{n - 1}} = \frac{1}{7} {(\frac{1}{3} x - \frac{5}{2})}^{n - 1} = \frac{1}{7} {(- \frac{5}{6})}^{n - 1}$

$เทียบกับสูตร a_{1} r^{n - 1} จะได้ พจน์แรก = \frac{1}{7}, อัตราส่วนร่วม = - \frac{5}{6} จากสูตร อนุกรมเรขาคณิตอนันต์ ดังนั้น \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{a_{n}}{b_{n}} = \frac{\frac{1}{7}}{1 - (- \frac{5}{6})} = \frac{1}{7} \times \frac{6}{11} = \frac{6}{77} \to ตอบ 5$