ข้อสอบ PAT 1 - ตุลาคม 2558

ข้อ 15

ให้ $f$ เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง ซึ่งมีโดเมนและเรนจ์เป็นสับเซตของจำนวนจริง โดยที่ $f^{- 1} (x) = \frac{2 x}{x + 1}$ สำหรับทุกสมาชิก $x$ ในเรนจ์ของ $f$ พิจารณาข้อความต่อไปนี้
$(ก) 2 f^{'} (4) - f (4) = 3 (ข) f'' (f (4)) = f (f'' (4)) (ค) f เป็นฟังก์ชันเพิ่มบนช่วง (0, 2)$

ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง

1
ข้อ (ก) และ ข้อ (ข) ถูก แต่ ข้อ (ค) ผิด
2
ข้อ (ก) และ ข้อ (ค) ถูก แต่ ข้อ (ข) ผิด
3
ข้อ (ข) และ ข้อ (ค) ถูก แต่ ข้อ (ก) ผิด
4
ข้อ (ก) ข้อ (ข) และ ข้อ (ค) ถูกทั้งสามข้อ
5
ข้อ (ก) ข้อ (ข) และ ข้อ (ค) ผิดทั้งสามข้อ

เฉลยข้อสอบ

$สูตรดิฟ ถ้า y = \frac{u}{v} จะได้ y' = \frac{v \cdot u' - u \cdot v'}{v^{2}} \to a ถ้า y = {[f (x)]}^{n} จะได้ y' = n {[f (x)]}^{n - 1} \cdot f' (x) \to b จากโจทย์ f^{- 1} (x) = \frac{2 x}{x + 1} f (f^{- 1} (x)) = f (\frac{2 x}{x + 1}) จะได้ x = f (\frac{2 x}{x + 1}) \to 1$

$กำหนดให้ A = \frac{2 x}{x + 1} A (x + 1) = 2 x Ax + A = 2 x A = (2 - A) x x = \frac{A}{2 - A}; แทนลงใน 1$

$จะได้ \frac{A}{2 - A} = f (A) f (A) = \frac{A}{2 - A}; เปลี่ยน A เป็น x ดังนั้น f (x) = \frac{x}{2 - x} \to 2 หา f' (x) จาก a จะได้ f' (x) = \frac{(2 - x) (1) - (x) (- 1)}{{(2 - x)}^{2}} = \frac{(2 - x) + x}{{(2 - x)}^{2}}$
$ดังนั้น f' (x) = \frac{2}{{(2 - x)}^{2}} \to 3 หา f'' (x) จาก a และ b จะได้ f'' (x) = \frac{{(2 - x)}^{2} (0) - 2 (2 \cdot {(2 - x)}^{2 - 1} \cdot (- 1))}{{[{(2 - x)}^{2}]}^{2}} = \frac{4 (2 - x)}{{(2 - x)}^{4}} ดังนั้น f'' (x) = \frac{4}{{(2 - x)}^{3}} \to 4$

$จาก 2 แทน x = 4 จะได้ f (4) = \frac{4}{2 - 4} f (4) = - 2 จาก 3 แทน x = 4 จะได้ f' (4) = \frac{2}{{(2 - 4)}^{2}} f' (4) = \frac{2}{{(- 2)}^{2}} = \frac{2}{4} f' (4) = \frac{1}{2}$

$จาก 4 แทน x = 4 จะได้ f'' (4) = \frac{4}{{(2 - 4)}^{3}} f'' (4) = \frac{4}{{(- 2)}^{3}} = \frac{4}{- 8} f'' (4) = - \frac{1}{2}$

$พิจารณาข้อความ (ก) 2 f' (4) - f (4) = 2 (\frac{1}{2}) - (- 2) = 1 + 2 = 3 ข้อ (ก) ถูก (ข) f'' (f (4)) = f'' (- 2) แทน x = - 2 ใน 4 จะได้ = \frac{4}{{(2 - (- 2))}^{3}} = \frac{4}{4^{3}} = \frac{1}{16}$

$f (f'' (4)) = f (- \frac{1}{2}) แทน x = - \frac{1}{2} ใน 2 จะได้ = \frac{- \frac{1}{2}}{2 - (- \frac{1}{2})} = \frac{- \frac{1}{2}}{\frac{5}{2}} = - \frac{1}{5} ดังนั้น f'' (f (4)) \neq f (f'' (4)) ข้อ (ข) ผิด$

$(ค) จาก 3 f' (x) = \frac{2}{{(2 - x)}^{2}} หาฟังก์ชันเพิ่ม f' (x) > 0 \frac{2}{{(2 - x)}^{2}} > 0 \frac{2}{{(- (x - 2))}^{2}} > 0 \frac{2}{{(x - 2)}^{2}} > 0 จะได้ x \in R - \{2\}$

$และ f เป็นฟังก์ชันเพิ่มในช่วง (- \infty, \infty) - \{2\} ดังนั้น f เป็นฟังก์ชันเพิ่มบนช่วง (0, 2) ข้อ (ค) ถูก$