ข้อสอบ PAT 1 - ตุลาคม 2558

ข้อ 2

ให้ $S'$ แทนคอมพลีเมนต์ของ S และ n(S) แทนจำนวนสมาชิกของเซต S ให้ A, B และ C เป็นเซตใด ๆ โดยที่ $A \cap (B \cup C)' = \emptyset$ , $n (A) = 12$ , $n (B) = 15$ , $n (C) = 16$ , $n (A \cup B \cup C) = 20$ และ $n (A \cap B) = n (B \cap C) = n (A \cap C)$ ข้อใดต่อไปนี้ไม่ถูกต้อง

1
$n (A \cap B \cap C) = 10$
2
$n (A \cap B) = 11$
3
$n (A' \cap B) = 4$
4
$n ((A \cup B) \cap C) = 12$
5
$n ((A \cup B)' \cap C) = 5$

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ A \cap (B \cup C)' = \emptyset; สูตร △ \cap □' = △ - □ A - (B \cup C) = \emptyset ลองมาวาดรูปเซต$

$กำหนดให้ a, b, c, x อยู่ในเซตตามรูปที่วาด$

$จากโจทย์ n (A \cap B) = n (B \cap C) = n (A \cap C) จะได้ a + x = c + x = b + x a = c = b กำหนดให้ a = b = c = y จากโจทย์ n (A) = 12 จะได้ 0 + y + x + y = 12 x + 2 y = 12 \to 1$

$จากสูตร n (A \cup B \cup C) = n (A) + n (B) + n (C) - n (A \cap B) - n (B \cap C) - n (A \cap C) + n (A \cap B \cap C)$
$จะได้ 20 = 12 + 15 + 16 - (x + y) - (x + y) - (x + y) + x 20 = 43 - 2 x - 3 y 2 x + 3 y = 23 \to 2$

$จาก 1, 2 แก้ 2 สมการ 2 ตัวแปร จะได้ x = 10, y = 1 ลองมาวาดรูปเซต$

$พิจารณาตัวเลือก 1 . n (A \cap B \cap C) = 10 ถูก 2 . n (A \cap B) = 11 ถูก 3 . n (A' \cap B) = 4 ถูก เพราะ n (A' \cap B) = n (B \cap A') = n (B - A) = 4$

$4 . n ((A \cup B) \cap C) = 12 ถูก 5 . n ((A \cup B)' \cap C) = 15 ผิด เพราะ n ((A \cup B)' \cap C) = n (C \cap (A \cup B)') = n (C - (A \cup B)) = 4$