ข้อสอบ PAT 1 - ตุลาคม 2558

ข้อ 23

กำหนดให้ $a_{n} = \frac{1 + 2 + 2^{2} + 2^{3} + . . . + 2^{n}}{3^{2 n}}$ เมื่อ $n = 1, 2, 3, . . .$ ค่าของ $\lim_{n \to \infty} (a_{1} + a_{2} + a_{3} + . . . + a_{n})$ เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1
$\frac{2}{9}$
2
$\frac{1}{8}$
3
$\frac{9}{56}$
4
$\frac{2}{7}$
5
$\frac{25}{56}$

เฉลยข้อสอบ

$สูตรอนุกรม S_{n} = \frac{a_{1} (r^{n} - 1)}{r - 1}; |r| > 1 \to 1 จากโจทย์ a_{n} = \frac{1 + 2 + 2^{2} + 2^{3} + . . . + 2^{n}}{3^{2 n}} \to 2 - แต่ 1 + 2 + 2^{2} + 2^{3} + . . . + 2^{n} มี n + 1 พจน์; r = 2$

$จาก 1 จะได้ 1 + 2 + 2^{2} + 2^{3} + . . . + 2^{n} = \frac{1 (2^{n + 1} - 1)}{2 - 1} = 2^{n + 1} - 1; แทนใน 2$

$จะได้ a_{n} = \frac{2^{n + 1} - 1}{3^{2 n}} a_{n} = \frac{2 \cdot 2^{n} - 1}{9^{n}} หาค่าของ \lim_{n \to \infty} (a_{1} + a_{2} + a_{3} + . . . + a_{n}) = \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}; แทน a_{n} = \sum_{n = 1}^{\infty} (\frac{2 \cdot 2^{n} - 1}{9^{n}})$

$= \sum_{n = 1}^{\infty} (\frac{2 \cdot 2^{n}}{9^{n}}) - \sum_{n = 1}^{\infty} (\frac{1}{9^{n}}) = 2 \sum_{n = 1}^{\infty} {(\frac{2}{9})}^{n} - \sum_{n = 1}^{\infty} {(\frac{1}{9})}^{n} = 2 (\frac{2}{9} + {(\frac{2}{9})}^{2} + {(\frac{2}{9})}^{3} + . . .) - (\frac{1}{9} + {(\frac{1}{9})}^{2} + ({\frac{1}{9}}^{3}) + . . .)$

$จาก 1 จะได้ = 2 (\frac{\frac{2}{9}}{1 - \frac{2}{9}}) - (\frac{\frac{1}{9}}{1 - \frac{1}{9}}) = 2 (\frac{2}{9} \times \frac{9}{7}) - (\frac{1}{9} \times \frac{9}{8}) = \frac{25}{56} ดังนั้น \lim_{n \to \infty} (a_{1} + a_{2} + a_{3} + . . . + a_{n}) = \frac{25}{56}$