ข้อสอบ PAT 1 - ตุลาคม 2558

ข้อ 27

กำหนดให้ $a และ b$ เป็นเวกเตอร์ใด ๆ ที่ไม่เป็นเวกเตอร์ศูนย์ พิจารณาข้อความต่อไปนี้
(ก) $ถ้า a ขนานกับ b$ แล้ว $|a - b| = |a| - |b|$
(ข) ถ้า ${|a + b|}^{2} = {|a|}^{2} + {|b|}^{2}$ แล้ว $\bar{a} ตั้งฉากกับ b$
(ค) ถ้าเวกเตอร์ $a + b$ ตั้งฉากกับเวกเตอร์ $a - b$ แล้ว $|a| = |b|$
ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง

1
ข้อ (ก) และ ข้อ (ข) ถูก แต่ ข้อ (ค) ผิด
2
ข้อ (ก) และ ข้อ (ค) ถูก แต่ ข้อ (ข) ผิด
3
ข้อ (ข) และ ข้อ (ค) ถูก แต่ ข้อ (ก) ผิด
4
ข้อ (ก) ข้อ (ข) และ ข้อ (ค) ถูกทั้งสามข้อ
5
ข้อ (ก) ข้อ (ข) และ ข้อ (ค) ผิดทั้งสามข้อ

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$สูตรเวกเตอร์ {|a - b|}^{2} = {|a|}^{2} - 2 a \cdot b + {|b|}^{2} = {|a|}^{2} - 2 |a| |b| \cos θ + {|b|}^{2} \to 1 {|a + b|}^{2} = {|a|}^{2} + 2 a \cdot b + {|b|}^{2} = {|a|}^{2} + 2 |a| |b| \cos θ + {|b|}^{2} \to 2 (ก) ถ้า a ขนานกับ b จะได้ a ขนานกับ b ในทิศทางเดียวกับ (θ = 0 °) หรือ ทิศทางตรงข้าม (θ = 180 °)$

$- ถ้า θ = 180 ° จะได้ \cos θ = - 1 จาก 1 {|a - b|}^{2} = {|a|}^{2} - 2 |a| |b| \cos θ + {|b|}^{2}; \cos θ = - 1 = {|a|}^{2} - 2 |a| |b| (- 1) + {|b|}^{2} = {|a|}^{2} + 2 |a| |b| + {|b|}^{2} = {({|a|}^{2} + |b|)}^{2}$

$จะได้ |a - b| = |a| + |b| หรือ |a - b| = - (|a| + |b|) เป็นไปไม่ได้ เพราะ || > 0 ดังนั้น |a - b| = |a| + |b| ข้อ (ก) ผิด (ข) ถ้า {|a + b|}^{2} = {|a|}^{2} + {|b|}^{2}; จาก 2 2 |a| |b| \cos θ = 0 \cos θ = 0 θ = 90 ° ดังนั้น a ตั้งฉากกับ b ข้อ (ข) ถูก$

$(ค) ถ้าเวกเตอร์ a + b ตั้งฉากกับเวกเตอร์ a - b จะได้ (a + b) \cdot (a - b) = |a + b| |a - b| \cos θ (a + b) \cdot (a - b) = |a + b| |a - b| \cos 90 °; \cos 90 ° = 0 (a + b) \cdot (a - b) = 0 a \cdot a - a \cdot b + b \cdot a - b \cdot b = 0 โดย a \cdot a = {|a|}^{2}, b \cdot b = {|b|}^{2}, a \cdot b = b \cdot a$