ข้อสอบ PAT 1 - ตุลาคม 2558

$ถ้า f (x) เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง ที่ x = a จะได้ว่า 1) f (a) หาค่าได้ 2) \lim_{x \to a} f (x) หาค่าได้ 3) f (a) = \lim_{x \to a} f (x) ต้องเป็นจริงทั้ง 3 ข้อ f (x) จึงเป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง ที่ x = a จากโจทย์ ถ้าฟังก์ชัน f ต่อเนื่อง สำหรับทุกจำนวนจริง x จะได้ว่า f ต่อเนื่องที่ x = - 1 และ x = 1 (จุดที่เป็นรอยต่อ)$

$กำหนดให้ f (x) = \{\begin{matrix} x^{3}, x < - 1 \to 1 \\ ax + b, - 1 \leq x < 1 \to 2 \\ 3 x^{2} + 2, x \geq 1 \to 3 \end{matrix} f ต่อเนื่องที่ x = - 1 จะได้ f (- 1) = \lim_{x \to - 1^{-}} f (x) \to 4 จาก 2 f (x) = ax + b; - 1 \leq x < 1 f (- 1) = a (- 1) + b f (- 1) = - a + b; แทนใน 4$

$จาก 1 f (x) = x^{3}; take ค่า \lim_{x \to - 1^{-}} \lim_{x \to - 1^{-}} f (x) = \lim_{x \to - 1^{-}} x^{3} \lim_{x \to - 1^{-}} f (x) = {(- 1)}^{3} \lim_{x \to - 1^{-}} f (x) = - 1; แทนใน 4 จาก 4 f (- 1) = \lim_{x \to - 1^{-}} f (x) - a + b = - 1 \to 5$

$f ต่อเนื่องที่ x = 1 จะได้ f (1) = \lim_{x \to 1^{-}} f (x) \to 6 จาก 3 f (x) = 3 x^{2} + 2; x \geq 1 f (1) = 3 {(1)}^{2} + 2 f (1) = 5; แทนใน 6$

$จาก 2 f (x) = ax + b; - 1 \leq x < 1 \lim_{x \to 1^{-}} f (x) = \lim_{x \to 1^{-}} (ax + b); take ค่า \lim_{x \to - 1^{-}} \lim_{x \to 1^{-}} f (x) = a (1) + b \lim_{x \to 1^{-}} f (x) = a + b; แทนใน 6$

$จาก 6 f (1) = \lim_{x \to 1^{-}} f (x) 5 = a + b a + b = 5 \to 7 - จาก 5, 7 แก้ 2 สมการ 2 ตัวแปร จะได้ a = 3, b = 2; แทนใน 2 จะได้ f (x) = \{\begin{matrix} x^{3}, x < - 1 \\ 3 x + 2, - 1 \leq x < 1 \\ 3 x^{2} + 2, x \geq 1 \end{matrix}$

$หาค่าของ \int_{- 2}^{2} f (x) d x \int_{- 2}^{2} f (x) d x = \int_{- 2}^{- 1} f (x) d x + \int_{- 1}^{1} f (x) d x + \int_{1}^{2} f (x) d x = \int_{- 2}^{- 1} (x^{3}) d x + \int_{- 1}^{1} (3 x + 2) d x + \int_{1}^{2} (3 x^{2} + 2) d x = {(\frac{x^{4}}{4})}_{- 2}^{- 1} + {(\frac{3 x^{2}}{2} + 2 x)}_{- 1}^{1} + {(\frac{3 x^{3}}{3} + 2 x)}_{1}^{2}$

$= (\frac{1}{4} - \frac{16}{4}) + ((\frac{3}{2} + 2) - (\frac{3}{2} - 2)) + ((8 + 4) - (1 + 2)) = (- \frac{15}{4}) + (\frac{3}{2} - \frac{3}{2} + 2 + 2) + (12 - 3) = - 3.75 + 4 + 9 = 9.25$