ข้อสอบ PAT 1 - ตุลาคม 2558

ข้อ 7

กำหนดให้ $A = a r c \sin (\cos \frac{π}{3})$ และ $0 < B < \frac{π}{2}$
$\sin^{2} B + \sin^{2} (A + B) + \sin^{2} (5 A + B)$ ตรงกับข้อใดต่อไปนี้

1
$0$
2
$1$
3
$\frac{3}{2} - \sin 2 B$
4
$\frac{3}{2} - \cos 2 B$
5
$\frac{3}{2} - 2 \cos 2 B$

เฉลยข้อสอบ

$สูตรตรีโกณ \cos 2 θ = 1 - 2 \sin^{2} θ จะได้ \sin^{2} θ = \frac{1 - \cos 2 θ}{2} \to 1 \cos x + \cos y = 2 \cos (\frac{x + y}{2}) \cos (\frac{x - y}{2}) \to 2$

$จากโจทย์ A = \arcsin (\cos \frac{π}{3}) จะได้ A = \arcsin (\frac{1}{2}); โดย \sin (\frac{π}{6}) = \frac{1}{2} A = \frac{π}{6}$

$จากโจทย์ \sin^{2} B + \sin^{2} (A + B) + \sin^{2} (5 A + B); จาก 1 = \frac{1 - \cos 2 B}{2} + \frac{1 - \cos 2 (A + B)}{2} + \frac{1 - \cos 2 (5 A + B)}{2} = \frac{3}{2} - \frac{1}{2} [\cos 2 B + \cos (2 A + 2 B) + \cos (10 A + 2 B)]; จาก 2$

$= \frac{3}{2} - \frac{1}{2} [\cos 2 B + 2 \cos (\frac{(2 A + 2 B) + (10 A + 2 B)}{2}) \cos (\frac{(2 A + 2 B) - (10 A + 2 B)}{2})]$

$= \frac{3}{2} - \frac{1}{2} [\cos 2 B + 2 \cos (6 A + 2 B) \cos (- 4 A)]; แทนมุม A = \frac{3}{2} - \frac{1}{2} [\cos 2 B + 2 \cos (\frac{6 π}{6} + 2 B) \cos (- \frac{4 π}{6})] โดย \cos (- θ) = cosθ; = \frac{3}{2} - \frac{1}{2} [\cos 2 B + 2 \cos (π + 2 B) \cos (\frac{2 π}{3})]$

$โดย \cos (\frac{2 π}{3}) = \cos (π - \frac{π}{3}) = - \cos \frac{π}{3}; = \frac{3}{2} - \frac{1}{2} [\cos 2 B + 2 (- \cos 2 B) \cdot (- \frac{1}{2})] = \frac{3}{2} - \frac{1}{2} (\cos 2 B + \cos 2 B) = \frac{3}{2} - \frac{1}{2} (2 \cos 2 B) = \frac{3}{2} - \cos 2 B$