ข้อสอบ PAT 1 - พฤศจิกายน 2557

ข้อ 7

ให้ a และ b เป็นจำนวนจริง และกำหนดให้ $f (x) = a x + \frac{b}{x}$ เมื่อ $x \neq 0$ โดยที่ $y = f (x)$ เป็นเส้นโค้งที่สัมผัสกับเส้นตรง $y = 1$ ที่จุด $(1, 1)$ พิจารณาข้อความต่อไปนี้

(ก) $f$ มีค่าสูงสุดสัมพัทธ์ที่ $x = - 1$
(ข) $\lim_{x \to 1} (f \circ f) (x) = f (2 a^{2} + 2 b^{2})$

ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง

1
(ก) ถูก และ (ข) ถูก
2
(ก) ถูก แต่ (ข) ผิด
3
(ก) ผิด แต่ (ข) ถูก
4
(ก) ผิด และ (ข) ผิด

เฉลยข้อสอบ

$(ก) จากโจทย์ เส้นโค้งที่สัมผัสกับเส้นตรง y = 1 ที่จุด (1, 1) นั่นคือ y = 1 เป็นเส้นตรงมีความชัน = 0 และที่จุด (1, 1) จะได้ f' (1) = 0 \to 1 จากโจทย์ f (x) = ax + \frac{b}{x} ผ่านจุด (1, 1) - แทนค่า x = 1, f (x) = 1 จะได้ 1 = a (1) + \frac{b}{1} a + b = 1 \to 2$

$จากโจทย์ f (x) = ax + \frac{b}{x} = ax + {bx}^{- 1}; ดิฟ f (x) f' (x) = a - {bx}^{- 2}; แทน x = 1 จะได้ f' (1) = a - b จาก 1 f' (1) = 0; แทน f' (1) = a - b a - b = 0 \to 3$

$- จาก 2, 3 แก้ 2 สมการ 2 ตัวแปร จะได้ a = \frac{1}{2}, b = \frac{1}{2}; แทนค่าใน f (x), f' (x) f (x) = \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} x^{- 1} f' (x) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} x^{- 2}$

$หาจุดสูงสุดสัมพัทธ์ f' (x) = 0; แทน f' (x) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} x^{- 2} \frac{1}{2} - \frac{1}{2} x^{- 2} = 0 \frac{1}{2} x^{- 2} = \frac{1}{2} x^{- 2} = 1 x = \pm 1 x = - 1, 1$

$เชคค่าสูงสุด ต่ำสุด จาก f'' (x) f'' (x) = \frac{2}{2} x^{- 3} = x^{- 3} = \frac{1}{x^{3}} x = - 1 \to f'' (- 1) = \frac{1}{{(- 1)}^{3}} = - 1 < 0 เกิด \max x = 1 \to f'' (1) = \frac{1}{1^{3}} = 1 > 0 เกิด \min$

$แสดงว่า f (1) ได้ค่า \min f (- 1) ได้ค่า \max ดังนั้น f มีค่าสูงสุดสัมพัทธ์ที่ x = - 1 ข้อ (ก) ถูก$

$(ข) จากโจทย์ \lim_{x \to 1} (f \circ f) (x) = f (2 a^{2} + 2 b^{2}) หาค่าทางฝั่งซ้าย \lim_{x \to 1} (f \circ f) (x) = \lim_{x \to 1} f (f (x)) จาก f (x) = \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} x^{- 1}; = f (f (1)) แทนค่า x = 1 ใน f (x); = f (\frac{1}{2} (1) + \frac{1}{2} {(1)}^{- 1}) = f (1)$

$หาค่าทางฝั่งขวา f (2 a^{2} + 2 b^{2}) = f [2 (\frac{1}{2})^{2} + 2 (\frac{1}{2})^{2}] แทนค่า a = \frac{1}{2}, b = \frac{1}{2}; = f (\frac{1}{2} + \frac{1}{2}) = f (1) ดังนั้น \lim_{x \to 1} (f \circ f) (x) = f (2 a^{2} + 2 b^{2}) ข้อ (ข) ถูก$