ข้อสอบ PAT 1 - มีนาคม 2555

ข้อ 17

ให้ $R$ แทนเซตของจำนวนจริง ให้ $f : R \to R, g : R \to R$ และ $h : R \to R$ เป็นฟังก์ชัน โดยที่ $f (x) = \frac{a x + 1}{x^{2} + 1}$ เมื่อ $a$ เป็นจำนวนจริง $g (x) = (x^{2} + 1) f' (x)$ และ $h (x) = \{\begin{cases} f (x) เมื่อ x \geq 2 \\ g (x) เมื่อ x < 2 \end{cases}$ ถ้าฟังก์ชัน $h$ ต่อเนื่องที่ $x = 2$ แล้ว ค่าของ $2 h (- 2) - h (2)$ เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1
0.6
2
0.8
3
1
4
3

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ f (x) = \frac{ax + 1}{x^{2} + 1} \to 1 𝑓' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (a) + (ax + 1) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}} จากโจทย์ g (x) = (x^{2} + 1) 𝑓' (x) = (x^{2} + 1) (\frac{(x^{2} + 1) (a) + (ax + 1) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}) = \frac{a (x^{2} + 1) - 2 x (ax + 1)}{x^{2} + 1} \to 2$

$จากโจทย์ ฟังก์ชัน h ต่อเนื่องที่ x = 2 จะได้ \lim_{x \to 2^{+}} h (x) = \lim_{x \to 2^{-}} h (x) \lim_{x \to 2^{+}} 𝑓 (x) = \lim_{x \to 2^{-}} g (x) \lim_{x \to 2^{+}} \frac{ax + 1}{x^{2} + 1} = \lim_{x \to 2^{-}} \frac{a (x^{2} + 1) - 2 x (ax + 1)}{x^{2} + 1} \frac{2 a + 1}{5} = \frac{5 a - 4 (2 a + 1)}{5}$

$2 a + 1 = 5 a - 8 a - 4 5 a = - 5 a = - 1; แทนใน 1, 2$

$จะได้ 𝑓 (x) = \frac{- x + 1}{x^{2} + 1} g (x) = \frac{- (x^{2} + 1) - 2 x (- x + 1)}{x^{2} + 1} ดังนั้น 2 h (- 2) - h (2) = 2 g (- 2) - f (2) = 2 (\frac{- 5 + 4 (3)}{5}) - (\frac{- 1}{5}) = 2 (\frac{7}{5}) + (\frac{1}{5}) = 3$